TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 18

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche $n\geq 0$ die angegebene Ungleichung gilt:

$9n^{3}-3\leq 8^{n}$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

 n = 1	$9*1^{3}-3=6<8^{1}$   (8)     richtig
 n = 2	$9*2^{3}-3=69<8^{2}$  (64)    falsch
 n = 3	$9*3^{3}-3=240<8^{3}$ (512)   richtig
 n = 4	$9*4^{3}-3=573<8^{4}$ (4096)  richtig

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt, da $8^{n}$ stärker wächst als n³.

Der Induktionsanfang für n = 3 ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt.

Die Induktionsbehauptung: $9(n+1)^{3}-3\leq 8^{n+1}$

Induktionsschluß: ACHTUNG: hier sind offensichtlich Fehler! siehe Diskussionsseite

 $9*(n+1)^{3}-3=8*(9n^{3}-3)\leq 8^{n+1}=8*8^{n}$  | Term * 8
 $9*(n+1)^{3}\leq 72*n^{3}-21$      	      |  / 9
     $(n+1)^{3}\leq 8n^{3}-7/3$
   $n^{3}+3n^{2}+3n+1\leq 8n^{3}-7/3$	 | -n³
  $3n^{2}+3n+1\leq 7n^{3}-7/3$	       | Ersetzen n durch höchste Potenz
  $3n^{2}+3n^{2}\leq 7n^{3}$	  

und 6n² sind bei n >= 3immer kleiner als 7n³

Hapi

Lösungsvorschlag von Kernkraftwerk

Wir wollen bei der vollständigen Induktion, bei Ungleichungen zumindest ein Treppenprinzip. D.h wir wollen mit = >= von der bspw. der linken Seite auf die rechte Seite:

Setzen wir einmal unsere Bedingungen fest:

Induktionsanfang: P(3), 8³ = 512 ≥ 9·3³ - 3 = 240

Induktionsvoraussetzung: P(n) := 9*n³-3 <= 8ⁿ <=> 8ⁿ >= 9*n³-3

Induktionsbehauptung: P(n+1) := 8ⁿ⁺¹ >= 9*(n+1)³-3

Induktionsschritt: P(n) -> P(n+1)

8 * 8ⁿ >= 9*(n+1)³-3

8ⁿ >= (9*(n+1)³-3) / 8

8ⁿ >= 9*n³-3 >= (9*(n+1)³-3) / 8

q.e.d

Lösungsvorschlag von Tonico

IV: P(n) sei die Aussage
8ⁿ ≥ 9n³ - 3, für alle n ≥ 3.

IA: Die Aussage P(3), 8³ = 512 ≥ 9·3³ - 3 = 240, ist wahr.

IS: Aus P(n) folgt P(n + 1) ist gleichbedeutend mit
8·8ⁿ = 8ⁿ⁺¹ ≥ 8·(9n³ - 3) ≥ 9(n + 1)³ - 3.

Daraus folgt, dass für alle n ≥ 3 P(n) wahr ist.

Lösung in der Übung akzeptiert

Ungleichung: $u(n):=9n^{3}-3\leq 8^{n}$

Erste analyse: Mittels einsetzen erhält man: Die Ungleichung gilt für n = 1, und alle n größer oder gleich 3.

Vereinfachung: Auf der linken Seite 3 addieren. Man vergrößert die Zahl, von der man annimmt, dass sie kleiner ist. Die Ungleichung $u_{1}(n):=9n^{3}\leq 8^{n}$ gilt immernoch für die angenommen $n\geq 3$.

Induktion: Es muss sowohl u(n), als auch u(n+1) gelten. Um eine einfache Endungleichung zu erhalten dividiert man ${\frac {u_{1}(n+1)}{u_{1}(n)}}$ und erhält:

 ${\frac {9(n+1)^{3}}{9n^{3}}}\leq {\frac {8^{n+1}}{8^{n}}}$ | Man kürzt links durch $9n^{3}$, rechts durch $8^{n}$
 ${\frac {(n+1)^{3}}{n^{3}}}\leq 8$ | Man zieht die 3. Wurzel
 ${\frac {n+1}{n}}\leq 2\Rightarrow 1+{\frac {1}{n}}\leq 2\Rightarrow {\frac {1}{n}}\leq 1$ | Und den Kehrwert:
 $n\geq 1$

Die Endungleichung ist natürlich für alle n größer oder gleich 3 gültig. Es gilt:

Wenn die durch x beschriebene Menge die angenommene Menge x größer-gleich 3 ist: $\forall n\in \{x\colon x\geq 3\}\colon n\geq 1$

Wieviel das mit Induktion zu tun hat, und ob das auch wirklich anwendbar ist, weiß ich nicht.

Hilfreiches von Har203

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:29, 20. Feb. 2026 (CET)

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche $n>0$ die angegebene Ungleichung gilt: $9\cdot n^{3}-3\leq 8^{n}$.

Die Ungleichung

${\begin{array}{|c|c|c|l|c|c|c|l|c|c|c|}\hline n&9\cdot n^{3}-3&8^{n}&\,&n&9\cdot n^{3}-3&8^{n}&\,&n&9\cdot n^{3}-3&8^{n}\\\hline 0&{\color {blue}-3}&{\color {blue}1}&\,&1&{\color {blue}6}&{\color {blue}8}&\,&2&69&64\\\hline 3&{\color {blue}240}&{\color {blue}512}&\,&4&{\color {blue}573}&{\color {blue}4096}&\,&5&{\color {blue}1122}&{\color {blue}32768}\\\hline 6&{\color {blue}1941}&{\color {blue}262144}&\,&7&{\color {blue}3084}&{\color {blue}2097152}&\,&8&{\color {blue}4605}&{\color {blue}16777216}\\\hline \end{array}}$

Induktionsanfang

Wir sehen, dass die Gleichung für $n=0,\,n=1$ und $n\geq 3$ gelten dürfte. Daher setzen wir ausgehen von der oberen Tabelle die vollständige Induktion mit dem Induktionsstart $n\in \mathbb {N}$ mit $n=3$ fest. Für den Anfangswert $n=3$ überprüfen wir die Ungleichung und erhalten ${\color {green}240}\leq {\color {green}512}$, also ist die Ungleichung für den Anfangswert gültig.

Wenn wir uns die Ungleichung anschauen, erkennen wir, dass auf der linken Seite die Werte zur dritten Potenz und auf der rechten exponentiell wachsen. D.h., den besten Aufschluss über diese Ungleichung gibt uns der Differenzenquotient. Daher werden wir für beide Seiten den diskreten Differenzenquotienten bilden und die beiden Funktionen $LS(n)\colon =9\cdot n^{3}-3$ und $RS(n)\colon =8^{n}$ für die beiden Seiten definieren. Der Differenzenquotient der linken Seite $LQ(n)$ bzw. der rechten $RQ(n)$ ist dann:

$LQ(n)\colon ={\frac {LS(n+1)}{LS(n)}}={\frac {9\cdot (n+1)^{3}-3}{9\cdot n^{3}-3}}\qquad RQ(n)\colon ={\frac {RS(n+1)}{RS(n)}}={\frac {8^{n+1}}{8^{n}}}=8$.

Induktionsvoraussetzung (IV)

Sei nun die Ungleichung $9\cdot n^{3}-3\leq 8^{n}$ für ein festes $n\in \mathbb {N} ,\,n\geq 3$ gültig.

Induktionsbehauptung

Ausgehend von der Induktionsvoraussetzung, dass die Ungleichung $9\cdot n^{3}-3\leq 8^{n}$ für ein festes $n$ gilt, müssen wir zeigen, dass die Ungleichung auch für $(n+1)$ gilt:

$9\cdot n^{3}-3\leq 8^{n}\implies 9\cdot (n+1)^{3}-3\leq 8^{n+1}$.

Induktionsschritt

Wir schauen uns die linke Seite der Ungleichung an:

• Anmerkung: $9\cdot (n+1)^{3}=9\cdot n^{3}+9\cdot 3\cdot n^{2}+9\cdot 3\cdot n+9$
• Abschätzung: Für $n\geq 3\colon \,{\color {orange}{\frac {1}{n-(1/3)}}\leq {\frac {2}{n}}}\colon \,{\frac {1}{n-(1/3)}}\leq {\frac {2}{n}}\implies n\leq 2\cdot n-(2/3)\implies (1/3)\leq n$.

${\begin{alignedat}{1}&{\frac {(9\cdot n^{3}-3)+(9\cdot 3\cdot n^{2}+9\cdot 3\cdot n+9)}{9\cdot n^{3}-3}}\,=\,{\frac {n^{3}-(1/3)+3\cdot n^{2}+3\cdot n+1}{n^{3}-(1/3)}}=\\&={\frac {n^{3}-1/3}{n^{3}-1/3}}+{\frac {3\cdot n^{2}+3\cdot n+1}{n^{3}-(1/3)}}\,=\,1+{\frac {3\cdot n^{2}+3\cdot n+1}{n^{3}-(1/3)}}=1+{\frac {3+{\frac {3}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}{n-{\frac {1/3}{n^{2}}}}}\leq \\&\leq 1+{\frac {3+3+1}{\color {orange}n-(1/3)}}\leq 1+{\frac {3+3+1}{\color {orange}(n/2)}}\leq \quad (n\geq 3)\quad \leq 1+{\frac {3+3+1}{(3/2)}}\leq 1+{\frac {14}{3}}=\\&={\frac {17}{3}}\implies {\color {green}LQ(n)=}{\frac {LS(n+1)}{LS(n)}}{\color {green}\leq {\frac {17}{3}}}\qquad {\color {blue}RQ(n)=8}\end{alignedat}}$

Laut Induktionsvoraussetzung gilt $9\cdot n^{3}-3\leq 8^{n}\implies LS(n+1)=9\cdot (n+1)^{3}-3\leq {\color {green}{\frac {17}{3}}\cdot }LS(n)={\color {green}{\frac {17}{3}}\cdot }(9\cdot n^{3}-3)\leq 8^{n}\leq {\color {blue}8\cdot }8^{n}=8^{n+1}\implies 9\cdot (n+1)^{3}-3\leq 8^{n+1}$.

• Ergebnis der Induktion für $n\geq 3$ gilt:

$9\cdot n^{3}-3\leq 8^{n}$

• Gesamtergebnis: Die Ungleichung $9\cdot n^{3}-3\leq 8^{n}$ ist für $n\in \mathbb {N} ,\,n=1,$ und für $n\geq 3$ gültig. Für $n=0$ würde die Ungleichung auch gelten. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vollständige Induktion

Mathepedia:

• Beispiele Ungleichungen

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Link zu früheren Lösungen:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 44