TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 283
Sei <T,*> die Gruppe aus Beispiel . Man bestimme die vom Element erzeugte Untergruppe sowie deren Nebenklassen in .
---
T ist {1,3,5,7,9,11,13,15}, wobei die Elemente Restklassen modulo 16 sind.
Die vom Element 9 erzeugte Gruppe ist <9,*>, es handelt sich also um eine zyklische Gruppe. Die von 9 erzeugte Gruppe ist daher {9^0=1, 9^1=9, 9^2=81=1, ...}, die Ergebnisse (wiederum Restklassen) wiederholen sich wegen modulo 16. Die erzeugte Gruppe ist daher {1,9} = UG. Da UG in T gilt, ist UG eine Untergruppe von T.
---
Die Menge der LNKs ist definiert als t * UG , wobei t ein Element aus T ist.
1 * UG = {1, 9} 3 * UG = {3, 11} 5 * UG = {5, 13} 7 * UG = {7, 15} ... ab hier wiederholen sich die Ergebnisse
Die LNKs sind also obige vier. Das passt zu der Regel |LNK| = |RNK| = |T|/|UG| = 4. Da * kommutativ ist, sind die Ergebnisse der RNKs = UG * t identisch mit den LNKs, Die UG {1, 9} ist daher ein Normalteiler von T.
---