TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 527

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},A{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$. Bestimmen Sie Kern $A$ und dim(Kern $A$).

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Hilfreiches

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge $kerf:=\{v\in V|f(v)=0\in W\}$ der Kern von f.

Lösung von fabs

Nach der Angabe würde also ein beliebiger Vektor v aus R² folgendermaßen dargestellt werden können:
$v={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=a\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
x und y könnte man nun in Abhängigkeit von a und b darstellen:
$x=a+2\cdot b$
$y=a+b$
bzw. a und b in Abhängigkeit von x und y:
$a=2\cdot y-x$
$b=x-y$
Auf diese Art umgeformt, sieht der Vektor v nun so aus:
$v=(2y-x)\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(x-y)\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
Die Abbildung von v errechnet sich nun wie folgt:
$A(v)=(2y-x)\cdot A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(x-y)\cdot A{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
$A(v)=(2y-x)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+(x-y)\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
$A(v)={\begin{pmatrix}2y-x\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\x-y\end{pmatrix}}$
$A(v)={\begin{pmatrix}2y-x\\x-y\end{pmatrix}}$
Wie man leicht erkennen kann, ist die einzige Möglichkeit, wie die Abbildung A(v) 0 ergibt, x = y = 0. Mathematisch:
$A(v)=0\Leftrightarrow x=y=0$
Der einzige Vektor, der diese Bedingung erfüllt, ist logischerweise der Nullvektor $v={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$. Der Kern ist in diesem Fall also die leere Menge und daher Nulldimensional.

Lösungsvorschlag von m4rS

kA obs so auch erlaubt ist zu berechnen (und ob ich alles richtig verstanden hab ;) ), falls ja ne schnellere Variante (grad keine Lust mich viel mit LaTeX herumzuschlagen, also eher nicht schön formatiert) :

Den Kern berechnet man, durch {x e V:f(x) = o} Durch die Linearität können wir unsere 2 Abbildungen auch zu einer Zusammenfassen u so auch den ganzen Raum V bzw R^2 darstellen, d. H. s*A(2,1)+t*A(1,1)=(0,0) =>s*(1,0)=-t*(0,1), es ist trivial zu erkennen, dass die einzige Lösung s=t=0 ist, daher ist die einzige Lösung der Nullvektor

Links

Wikipedia:

• Rang
• Kern
• Dimension

Beispiele:

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 520 (Die Lösung zu diesem Bsp ist vollständiger und gut erklärt)
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 372