TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 529

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},A{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

Bestimmen Sie Kern $A$ und dim(Kern $A$).

• Erweiterung der Angabe:

Bestimmen Sie $\operatorname {ker} (f)$ und $f\left(\mathbb {R} ^{2}\right)$ sowie $\operatorname {def} (f)=\dim(\operatorname {ker} (f))$ und den Rang von $f$.

Verifizieren Sie die Beziehung $\dim(\operatorname {ker} (f))+\operatorname {rg} (f)=\dim(\mathbb {R} ^{2})$ und bestimmen Sie die Matrix von $f$ bezüglich der kanonischen Basis.

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Hilfreiches

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge $kerf:=\{v\in V|f(v)=0\in W\}$ der Kern von f.

Lösung von fabs

Nach der Angabe würde also ein beliebiger Vektor v aus R² folgendermaßen dargestellt werden können:
$v={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=a\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
x und y könnte man nun in Abhängigkeit von a und b darstellen:
$x=a+2\cdot b$
$y=a+b$
bzw. a und b in Abhängigkeit von x und y:
$a=2\cdot y-x$
$b=x-y$
Auf diese Art umgeformt, sieht der Vektor v nun so aus:
$v=(2y-x)\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(x-y)\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
Die Abbildung von v errechnet sich nun wie folgt:
$A(v)=(2y-x)\cdot A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(x-y)\cdot A{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
$A(v)=(2y-x)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+(x-y)\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
$A(v)={\begin{pmatrix}2y-x\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\x-y\end{pmatrix}}$
$A(v)={\begin{pmatrix}2y-x\\x-y\end{pmatrix}}$
Wie man leicht erkennen kann, ist die einzige Möglichkeit, wie die Abbildung A(v) 0 ergibt, x = y = 0. Mathematisch:
$A(v)=0\Leftrightarrow x=y=0$
Der einzige Vektor, der diese Bedingung erfüllt, ist logischerweise der Nullvektor $v={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$. Der Kern ist in diesem Fall also die leere Menge und daher Nulldimensional.

Lösungsvorschlag von m4rS

kA obs so auch erlaubt ist zu berechnen (und ob ich alles richtig verstanden hab ;) ), falls ja ne schnellere Variante (grad keine Lust mich viel mit LaTeX herumzuschlagen, also eher nicht schön formatiert) :

Den Kern berechnet man, durch {x e V:f(x) = o} Durch die Linearität können wir unsere 2 Abbildungen auch zu einer Zusammenfassen u so auch den ganzen Raum V bzw R^2 darstellen, d. H. s*A(2,1)+t*A(1,1)=(0,0) =>s*(1,0)=-t*(0,1), es ist trivial zu erkennen, dass die einzige Lösung s=t=0 ist, daher ist die einzige Lösung der Nullvektor

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $({\vec {x}}+{\vec {y}})$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U$.

• Als vereinfachte Schreibweise verwendet man $U\leq V$ für die Eigenschaft, dass $U$ Unterraum von $V$ ist. Man beachte, dass der ganze Raum $V$ und die Menge $\mathbf {\{\,0\,\}}$, die nur aus dem Nullvektor besteht, immer Unterräume von $V$ sind:

$V\leq V\quad$ und $\quad \mathbf {\{\,0\,\}} \leq V$

Lineare Abbildung

Definition: Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\boxplus ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$. $f:V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})$
2. $\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}$

Umgekehrt legt jede Matrix$^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Matrix

Eine Matrix ist also eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

$A\colon \{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}\to K,\quad (i,j)\mapsto a_{ij},$

die jedem Indexpaar $(i,j)$ als Funktionswert das Element $a_{ij}$ zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar $(1,2)$ als Funktionswert das Element $a_{12}$ zugeordnet. Der Funktionswert $a_{ij}$ ist also das Element in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte. Die Variablen $m$ und $n$ entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben. Die Menge $\operatorname {Abb} \left(\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\},K\right)$ aller $m\times n$-Matrizen über der Menge $K$ wird in üblicher mathematischer Notation auch $K^{\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation $K^{m\times n}$ eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen $K^{m,n},$ $M(m\times n,K)$ oder seltener ${}^{m}K^{n}$ benutzt.

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\operatorname {rg} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Kern

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ aus denjenigen Vektoren in $V$, die auf den Nullvektor in $W$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung $f(x)=0$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist $f$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in $V$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Definition Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge

$\operatorname {Kern} f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}$

der Kern von $f$. Er ist ein Untervektorraum von $V$.

Defekt

• Der Defekt einer Abbildung $f$ ist die Dimension vom Kern $\operatorname {def} (f)=\dim(\operatorname {ker} (f))$.

Rangsatz

Formulierung für lineare Abbildungen

Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung von einem Vektorraum $V$ in einen Vektorraum $W$, dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge $V$, des Kerns $\mathrm {ker} (f)$ und des Bildes $\mathrm {im} (f)$ der Abbildung $f$ die Gleichung

$\dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)$.

Mit den Bezeichnungen Defekt $\mathrm {def} (f)$ für die Dimension des Kerns und (Lineare Algebra) Rang $\mathrm {rk} (f)$ (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung $f$ liest sich der Rangsatz als

$\dim V=\mathrm {def} (f)+\mathrm {rk} (f)$.

Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension.

Formulierung für Matrizen

Jede lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen lässt sich mithilfe einer Matrix darstellen (siehe Abbildungsmatrix). Umgekehrt definiert jede Matrix $A$ durch die Vorschrift $x\mapsto Ax$ eine lineare Abbildung. Aufgrund dieses engen Zusammenhangs zwischen linearen Abbildungen und Matrizen lässt sich der Rangsatz auch für Matrizen formulieren: Ist $A$ eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten, so gilt

$n=\dim \mathrm {ker} (A)+\dim \mathrm {im} (A)$,

wobei $\mathrm {ker} (A)$ der Kern und $\mathrm {im} (A)$ das Bild der Matrix ist. Die Dimension des Bildes einer Matrix ist ihr Rang. Bezeichnet man den Rang mit $r$, so liest sich der Rangsatz als

$n=\dim \mathrm {ker} (A)+r$.

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $f({\binom {1}{1}})={\binom {1}{0}},f({\binom {2}{1}})={\binom {0}{1}}$. Bestimmen Sie $\operatorname {ker} (f)$ und $f\left(\mathbb {R} ^{2}\right)$ sowie $\operatorname {def} (f)=\dim(\operatorname {ker} (f))$ und den Rang von $f$. Verifizieren Sie die Beziehung $\dim(\operatorname {ker} (f))+\operatorname {rg} (f)=\dim(\mathbb {R} ^{2})$ und bestimmen Sie die Matrix von $f$ bezüglich der kanonischen Basis.

Wir müssen uns die Abbildung der kanonischen Basisvektoren, also $f(\,\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\,)$ und $f(\,\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\,)$ anschauen.

Der Basisvektor ${\vec {e_{1}}}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)$ kann als Linearkombination der uns bekannten abgebildeten Vektoren gebildet werden:

${\vec {e_{1}}}=\left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)$.

Den Basisvektor ${\vec {e_{2}}}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)$ können wir aus nachfolgender Linearkombination bilden:

${\vec {e_{2}}}=(-1)\cdot \left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)+2\cdot \left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)$.

Wir berechnen nun die Abbildungen von $e_{1}$ und $e_{2}$:

${\begin{alignedat}{1}{\vec {s_{1}}}&=f(\,{\vec {e_{1}}}\,)=f(\,\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\,)=f(\,\left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)+(-1)\cdot \left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right))=f(\,\left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)\,)+f(\,(-1)\cdot \left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)\,)=f(\,\left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)\,)+(-1)\cdot f(\,\left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)\,)=\\&=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)+(-1)\cdot \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}-1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-1\\1\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{1}{\vec {s_{2}}}&=f(\,{\vec {e_{2}\,}})=f(\,\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\,)=f(\,(-1)\cdot \left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)+2\cdot \left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)\,)=f(\,(-1)\cdot \left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)\,)+2\cdot f(\,\left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)\,)=(-1)\cdot f(\,\left({\begin{array}{c}2\\1\end{array}}\right)\,)+2\cdot f(\,\left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)\,)=\\&=(-1)\cdot \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)+2\cdot \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\-1\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}2\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}2\\-1\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

D.h. die Abbildung der Basisvektoren ist: $\,{\vec {e_{1}}}=\left({\begin{array}{r}-1\\1\end{array}}\right)$ und $\,{\vec {e_{2}}}=\left({\begin{array}{r}2\\-1\end{array}}\right)$.

D.h. unsere Abbildungsmatrix $A$ sieht folgend aus:

$A=\left({\begin{array}{c|c}f(\,{\vec {e_{1}}}\,)&f(\,{\vec {e_{2}}}\,)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c}{\vec {s_{1}}}&{\vec {s_{2}}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{r}-1\\1\end{array}}{\begin{array}{r}2\\-1\end{array}}\right)$

Der Kern der Abbildung $\operatorname {ker} (f)$ sind jene Vektoren aus dem Ursprungsraum $V=\mathbb {R} ^{2}$, die auf den Nullvektor ${\vec {0_{W}}}$ vom Bildraum $W=\mathbb {R} ^{2}$ abgebildet werden. Dafür werden wir das folgende lineare Gleichungssystem lösen:

$\left({\begin{array}{r}-1\\1\end{array}}{\begin{array}{r}2\\-1\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right)={\vec {0_{W}}}$.

$\left({\begin{array}{rr|r}-1&2\\1&-1\end{array}}\right){\begin{array}{r|}\cdot (-1)\,\\+z1\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rr|r}1&-2\\0&1\end{array}}\right){\begin{array}{r|}+2\cdot Z2\,\\\,\end{array}}\to \left({\begin{array}{rr|r}1&0\\0&1\end{array}}\right)$

Da beide Vektoren der Matrix $A$ linear unabhängig sind gilt:

• Der Kern der Abbildung $\operatorname {ker} (f)$ ist nur der Nullvektor ${\vec {0_{V}}}\implies \operatorname {ker} (f)=\{\,{\vec {0_{V}}}\,\}$.
• Der Defekt $\operatorname {def} (A)=\dim(\operatorname {ker} (A))=0$.
• Die Matrix $A$ hat den Rang 2, da beide Zeilen der Matrix linear unabhängig sind.
• Da der Rang der Matrix $A\colon \,\operatorname {rg} (A)=2$, gilt $\dim(\operatorname {im} (R^{2}))=2$.
• Die Determinante der Matrix $A\colon \,\det(A)=1-2=-1\neq 0$. D.h. die Matrix ist regulär bzw. invertierbar.
• Da die Matrix $A$ invertierbar ist, ist die Abbildung bijektiv.
• $f(\,R^{2}\,)=\mathbb {R} ^{2},\;\dim(\mathbb {R} ^{2})=2,\;\dim(\operatorname {im} (f(\,\mathbb {R} ^{2}\,))=2$.
• Die Beziehung $\dim(\operatorname {ker} (f))+\operatorname {rg} (f)=\dim(\mathbb {R} ^{2})$ entspricht $0+2=2$ und ist somit erfüllt.

$\qquad \qquad \blacksquare$

Einige Abbildungsbeispiele

${\begin{alignedat}{1}&f(\,\left({\begin{array}{r}1\\0\end{array}}\right)\,)\,&=\left({\begin{array}{r}-1\\1\end{array}}\right)&\quad &f(\,\left({\begin{array}{r}0\\1\end{array}}\right)\,)\,&=\left({\begin{array}{r}2\\-1\end{array}}\right)&\quad &f(\,\left({\begin{array}{r}1\\1\end{array}}\right)\,)\,&=\left({\begin{array}{r}1\\0\end{array}}\right)&\quad &f(\,\left({\begin{array}{r}2\\1\end{array}}\right)\,)\,&=\left({\begin{array}{r}0\\1\end{array}}\right)&\quad &f(\,\left({\begin{array}{r}2\\2\end{array}}\right)\,)\,&=\left({\begin{array}{r}2\\0\end{array}}\right)&\quad &f(\,\left({\begin{array}{r}-1\\-1\end{array}}\right)\,)\,&=\left({\begin{array}{r}-1\\0\end{array}}\right)&\quad \end{alignedat}}$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Lineare Abbildung
• Homomorphismus
• Matrix
• Dimension
• Rang
• Kern
• Defekt einer Matrize (Mathematik)
• Rangsatz / Dimensionssatz / Kern-Bild-Satz

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