TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 572

Für die Matrizen A und B mit

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 2\\ -2& 4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 2\\ 2& -4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)$

bestimme man $C=A\cdot B$ und verifiziere den Determinantensatz det(A) $\cdot$ det(B) = det(C)!

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Theoretische Grundlagen

• Regel von Sarrus zur Determinantenberechnung:
  • $det(A)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)=a_{1,1}\ast a_{2,2}\ast a_{3,3}+a_{1,2}\ast a_{2,3}\ast a_{3,1}+a_{1,3}\ast a_{2,1}\ast a_{3,2}-a_{1,3}\ast a_{2,2}\ast a_{3,1}-a_{1,2}\ast a_{2,1}\ast a_{3,3}-a_{1,1}\ast a_{2,3}\ast a_{3,2}$
• Falk-Schema (Matrizenmultiplikation)

Lösungsvorschlag von mnemetz

Determinante von A nach der Regel von Sarrus rechnen:

$-1\cdot 4\cdot 2+3\cdot 6\cdot 1+2\cdot (-2)\cdot (-2)-2\cdot 4\cdot 1-3\cdot (-2)\cdot 2-(-1)\cdot 6\cdot (-2)=-8+18+8-8+12-12=10$

Determinante von B nach der Regel von Sarrus rechnen:

$-1\cdot (-4)\cdot 2+3\cdot 6\cdot 1+2\cdot 2\cdot (-2)-2\cdot (-4)\cdot 1-3\cdot 2\cdot 2-(-1)\cdot 6\cdot (-2)=8+18-8+8-12-12=2$

$C=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 2\\ -2& 4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 2\\ 2& -4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)$

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

$\begin{array}{cccccc}& & & -1& 3& 2\\ & & & 2& -4& 6\\ & & & 1& -2& 2\\ -1& 3& 2& 9& \mathit{-}19& 20\\ -2& 4& 6& 16& \mathit{-}34& 32\\ 1& -2& 2& \mathit{-}3& 7& \mathit{-}6\end{array}$

$C=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 2\\ -2& 4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 2\\ 2& -4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& -19& 20\\ 16& -34& 32\\ -3& 7& -6\end{array}\right)$

Determinante von C nach der Regel von Sarrus rechnen:

$9\cdot (-34)\cdot (-6)+(-19)\cdot 32\cdot (-3)+20\cdot 16\cdot 7-20\cdot (-34)\cdot (-3)-(-19)\cdot 16\cdot (-6)-9\cdot 32\cdot 7=1836+1824+2240-2040-1824-2016=20$

Die Richtigkeit des Determinantensatzes wurde an diesem Beispiel verifiziert, denn det(A) $\cdot$ det(B) = 20 und stimmt mit det(C) überein!