TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 570

Für die Matrizen A und B mit

$A={\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}\qquad B={\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&-4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}$

bestimme man $C=A\cdot B$ und verifiziere den Determinantensatz det(A) $\cdot$ det(B) = det(C)!

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Theoretische Grundlagen

• Regel von Sarrus zur Determinantenberechnung:
  • $det(A)={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}=a_{1,1}*a_{2,2}*a_{3,3}+a_{1,2}*a_{2,3}*a_{3,1}+a_{1,3}*a_{2,1}*a_{3,2}-a_{1,3}*a_{2,2}*a_{3,1}-a_{1,2}*a_{2,1}*a_{3,3}-a_{1,1}*a_{2,3}*a_{3,2}$
• Falk-Schema (Matrizenmultiplikation)

Lösungsvorschlag von mnemetz

Determinante von A nach der Regel von Sarrus rechnen:

$-1\cdot 4\cdot 2+3\cdot 6\cdot 1+2\cdot (-2)\cdot (-2)-2\cdot 4\cdot 1-3\cdot (-2)\cdot 2-(-1)\cdot 6\cdot (-2)=-8+18+8-8+12-12={\mathit {10}}$

Determinante von B nach der Regel von Sarrus rechnen:

$-1\cdot (-4)\cdot 2+3\cdot 6\cdot 1+2\cdot 2\cdot (-2)-2\cdot (-4)\cdot 1-3\cdot 2\cdot 2-(-1)\cdot 6\cdot (-2)=8+18-8+8-12-12={\mathit {2}}$

$C={\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&-4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}$

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

${\begin{matrix}&&&-1&3&2\\&&&2&-4&6\\&&&1&-2&2\\-1&3&2&{\mathit {9}}&{\mathit {-19}}&{\mathit {20}}\\-2&4&6&{\mathit {16}}&{\mathit {-34}}&{\mathit {32}}\\1&-2&2&{\mathit {-3}}&{\mathit {7}}&{\mathit {-6}}\\\end{matrix}}$

$C={\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&-4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&-19&20\\16&-34&32\\-3&7&-6\end{pmatrix}}$

Determinante von C nach der Regel von Sarrus rechnen:

$9\cdot (-34)\cdot (-6)+(-19)\cdot 32\cdot (-3)+20\cdot 16\cdot 7-20\cdot (-34)\cdot (-3)-(-19)\cdot 16\cdot (-6)-9\cdot 32\cdot 7=1836+1824+2240-2040-1824-2016={\mathit {20}}$

Die Richtigkeit des Determinantensatzes wurde an diesem Beispiel verifiziert, denn det(A) $\cdot$ det(B) = 20 und stimmt mit det(C) überein!