TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 407

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Man berechne

\begin{vmatrix}2 & 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 6 & 6\end{vmatrix}

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Lösen mittels Laplace'schen Entwicklungssatz nach 3ter Spalte

\begin{align}\begin{vmatrix}2 & 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 6 & 6\end{vmatrix} = (-1)*(-1)^{3+1}*\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix} + 0 + 7*(-1)^{3+3}*\begin{vmatrix}2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix} + 6*(-1)^{3+4}*\begin{vmatrix}2 & 4 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 4\end{vmatrix} = \\
= -(12 + 32 - 5 + 8 - 20 - 12) + 7*(24 - 16 + 15 - 24 + 10 - 24) - 6*(16 - 4 + 6 - 6 + 4 - 16) = \\
= -15 - 7*15 = -8*15 = \mathbf{-120}\end{align}

Angabe SS07[edit]

F?ür die Matrizen A, B mit

A = \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 2\end{pmatrix} B = \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix}

bestimme man C = AB und verifiziere den Determinantensatz detC = detA *detB

Lösungsvorschlag von Jacko[edit]

Nützliches[edit]

C = AB = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\  b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\  a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33} \\ a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}\end{pmatrix}

Lösung für Multiplikation[edit]

C = AB = \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 2\end{pmatrix}* \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}7 & -13 & 24 \\ 12 & -22 & 40 \\ -1 & 1 & -10\end{pmatrix}

D = BA = \begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & -2 & 2\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 2\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}3 & 5 & 20 \\ -12 & -22 & -8 \\ -5 & -9 & -6\end{pmatrix}

Links[edit]

Tool zum Überprüfen von Matrizenmultiplikation