TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 407

Man berechne

${\begin{vmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&5&6&6\end{vmatrix}}$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von mnemetz

Lösen mittels Laplace'schen Entwicklungssatz nach 3ter Spalte

${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&5&6&6\end{vmatrix}}=(-1)*(-1)^{3+1}*{\begin{vmatrix}1&2&-1\\1&2&4\\4&5&6\end{vmatrix}}+0+7*(-1)^{3+3}*{\begin{vmatrix}2&4&3\\1&2&-1\\4&5&6\end{vmatrix}}+6*(-1)^{3+4}*{\begin{vmatrix}2&4&-3\\1&2&-1\\1&2&4\end{vmatrix}}=\\=-(12+32-5+8-20-12)+7*(24-16+15-24+10-24)-6*(16-4+6-6+4-16)=\\=-15-7*15=-8*15=\mathbf {-120} \end{aligned}}$

Angabe SS07

F?ür die Matrizen A, B mit

$A={\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&-4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}$

bestimme man C = AB und verifiziere den Determinantensatz detC = detA *detB

Lösungsvorschlag von Jacko

Nützliches

$C=AB={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}}$ =

${\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}&a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}&a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}\\a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}&a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32}&a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}\end{pmatrix}}$

Lösung für Multiplikation

$C=AB={\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&-4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-13&24\\12&-22&40\\-1&1&-10\end{pmatrix}}$

$D=BA={\begin{pmatrix}-1&3&2\\2&-4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&5&20\\-12&-22&-8\\-5&-9&-6\end{pmatrix}}$

Links

Tool zum Überprüfen von Matrizenmultiplikation