TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 45
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Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?
Nützliches und Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Komplexe Zahlen Form: z = a +bi |z| = Kreisgleichung: r =
siehe auch Beispiel 44
Umrechnung komplex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Umrechnung von komplexen Zahlen:
- Kartesische Polar-Darstellung:
- Polare kartesische Darstellung:
Lösung (korrigiert, analog Beispiel 44)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zunächst muß die Ungleichung umgeformt werden, indem man beide Seiten mit |z| multipliziert.
|z + 5| < 4*|z|
1. Ansatz: Bruch auflösen (* |z|)und dann |z| umformen ()
Ausmultiplizieren:
Alles auf eine Seite bringen und dann durch -15 dividieren:
| auf vollständiges Quadrat bringen 1\9 | Quadrate bilden und in |z| rückformen | Wurzel ziehen
Ergibt als Lösung:
Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die obige Gleichung erfüllen.
Man stelle sich einen Kreis mit Radius vor, dessen Mittelpunkt auf der Zahl liegt. Alle komplexen Zahlen, die *nicht* in dem Kreis liegen, sind die die Lösungsmenge.