TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 45

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Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

Nützliches und Hilfreiches[edit]

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = 
  Kreisgleichung:                    r  = 

siehe auch Beispiel 44

Umrechnung komplex
Umrechnung komplex[edit]

Umrechnung von komplexen Zahlen:

  • Kartesische Polar-Darstellung:
  • Polare kartesische Darstellung:

Lösung (korrigiert, analog Beispiel 44)[edit]

Zunächst muß die Ungleichung umgeformt werden, indem man beide Seiten mit |z| multipliziert.

      |z + 5| < 4*|z|                      

1. Ansatz: Bruch auflösen (* |z|)und dann |z| umformen ()

 
 
 

Ausmultiplizieren:

 

Alles auf eine Seite bringen und dann durch -15 dividieren:

    
  
                   | auf vollständiges Quadrat bringen  1\9
  
     | Quadrate bilden und in |z| rückformen
  
                           | Wurzel ziehen   
  
  

Ergibt als Lösung:

   

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die obige Gleichung erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius vor, dessen Mittelpunkt auf der Zahl liegt. Alle komplexen Zahlen, die *nicht* in dem Kreis liegen, sind die die Lösungsmenge.