kopiert vonTU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 311
Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von über dem Körper .
- Große Lösungsformel
.
- Restklassen
Restklassen modulo :
- Restklassenring
Allgemein gilt:
Eine Restklassenring bildet einen Körper, wenn prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).
Der naive Versuch, eine Lösung auf zu finden, schlägt fehl: Der Wert der Diskriminante besagt, daß keine Lösung (in M ) existiert.
Nachdem wir aber auf dem Restklassenkörper operieren, kommen zwei Lösungsmöglichkeiten in Betracht:
- wir verallgemeinern die gegebenen Werte aus auf , lösen das Problem in und spezialisieren das Ergebnis wieder auf .
- wir lösen das Problem vollständig in , wobei wir aber für die Zwischenergebnisse immer wieder passende Restklassenwerte finden müssen.
Auf dem Restklassenring können wir die Diskriminante in den Bereich zwingen, indem wir andere Werte aus den jeweiligen Restklassen der Angabewerte (aus ) zur Lösung in verwenden.
Z.B. (Werte mit o.g. Java-Programm; gefunden):
:
Diskriminante Lösung existiert (in );
falls die Gleichung ganzzahlig aufgeht (was sie mit den gewählten Zahlenwerten auch tut), ist die Lösung auch in .
Die Diskriminante ist negativ, aber in .
Also erweitern wir z.B. mit :
.
Dann ist
,
.
(Fleißaufgabe):
Baccus 01:12, 14. Jan 2007 (CET)
(Danke Hapi, Navyseal)
Da man mit mit Restklassen rechen kann, sollte man für b = 2 mod 7 wie folgt einsetzen: b = 9
Das ergibt dann nach der Formel (die Restklassen darf ich ja in 7-er Schritten erweitern!)
= = -2 bzw. -1.
Das Einsetzen der Werte ergibt folgende Gleichungen mit Restklassen:
*(-1)² + bzw *(-2)² +
denn -2*7 und -1*7 sind zulässige Erweiterungen bei Modulo 7.
Hapi
Urbanek hat noch eine andere Lösungsvarieante gebracht:
Ergebnis 1 :
Ergebnis 2 :
Er hat statt durch Restklasse 6 dividiert mit dem Inversen davon multipliziert, was zufälligerwiese wieder 6 ist. Außerdem hat er nach jedem Rechenschritt die jeweilige Restklasse mod 7 verwendet, z.b. statt 72 nur 2, etc.
Hapi
Das die Inverse Restklasse von -6 wieder 6 ist kann ich mir nicht vorstellen. Das inverse einer Restklasse wird wie folgt errechnet:
a*b+m*k=1
In diesen Fall ist b=-6 und m = 7, schaut dann so aus:
1*(-6)+7*1=1
daraus folgt die Inverse Restklasse von -6 ist 1! Bis dorthin passt die Rechnung aber. Die Probe ist aber in Ordnung somit stimmt, das Ergebnis, seltsam...
--Zool 13:57, 1. Feb. 2009 (UTC)
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