TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 422

Angabe

Für welche $x\in \mathbb{Q}$ ist die Matrix A singulär?

$A=\left(\begin{array}{ccc}x& 2& 2\\ 1& 1& x\\ 1& x& -1\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches $x\in \mathbb{Q}$ die vorliegende Matrix nun singulär ist!

$det(A)=x\ast 1\ast (-1)+2\ast x\ast 1+2\ast x\ast 1-2\ast 1\ast 1-2\ast 1\ast (-1)-x^3=-x+2\ast x+2\ast x-2+2-x^3=3\ast x-x^3$

(Determinante nach der Formel $det(A)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)=a_{1,1}\ast a_{2,2}\ast a_{3,3}+a_{1,2}\ast a_{2,3}\ast a_{3,1}+a_{1,3}\ast a_{2,1}\ast a_{3,2}-a_{1,3}\ast a_{2,2}\ast a_{3,1}-a_{1,2}\ast a_{2,1}\ast a_{3,3}-a_{1,1}\ast a_{2,3}\ast a_{3,2}$ berechnet)

Die Matrix ist singulär für $3\ast x-x^3=0$ (entspricht $x\ast (3-x^2)=0$).

• $x_1=0$
• $3-x^2=0\Rightarrow x_2=+\sqrt{3}\Rightarrow x_2\notin \mathbb{Q}$
• $3-x^2=0\Rightarrow x_3=-\sqrt{3}\Rightarrow x_3\notin \mathbb{Q}$

(D.h. die Matrix ist invertierbar für alle $x\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}$)