TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 426

Achtung, Rechenfehler! Die Länge von y ist Wurzel aus 14. Auf das -1^2 wurde vergessen. Ergebnis ist aber schon korrigiert.

Auch bei c) hat sich ein Fehler eingeschlichen, der richtige Wert für die Determinante ist -12. Es ist aber das Volumen gesucht, daher Betrag und somit 12.

Angabe:

(Achtung: Der Vektor x wurde von prof. Gittenberger geändert. Er entspricht nicht dem, der im Angabe-PDF zu finden ist)

Für die Vektoren x = (1,1,-1), y = (3,-1,2) und z = (2,2,1) berechne man

a) die Längen von x,y und z

b) den Winkel phi zwischen x und y

c) das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelepipeds.

a

Länge x= $||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$

$||x||=\sqrt{1^2+1^2+-1^2}=\sqrt{3}$

$||y||=\sqrt{3^2+-1^2+2^2}=\sqrt{14}$

$||z||=\sqrt{2^2+-2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$

b

Skalarprodukt $<x,y>=x_1\ast y_1+x_2\ast y_2+x_3\ast y_3=3-1-2=0$

$cos\phi =<x,y>/||x||\ast ||y||=0/\sqrt{3}\ast \sqrt{14}=0$

$\phi =arccos(0)=90^{\circ }$

c

Volumen des Parallelepipeds

$V=|det\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]|$

$V=|det\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& -1& 2\\ -1& 2& 1\end{array}\right]|=|-1-6+4-2-4-3|=12$