TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 426

Achtung, Rechenfehler! Die Länge von y ist Wurzel aus 14. Auf das -1^2 wurde vergessen. Ergebnis ist aber schon korrigiert.

Auch bei c) hat sich ein Fehler eingeschlichen, der richtige Wert für die Determinante ist -12. Es ist aber das Volumen gesucht, daher Betrag und somit 12.

Angabe:

(Achtung: Der Vektor x wurde von prof. Gittenberger geändert. Er entspricht nicht dem, der im Angabe-PDF zu finden ist)

Für die Vektoren x = (1,1,-1), y = (3,-1,2) und z = (2,2,1) berechne man

a) die Längen von x,y und z

b) den Winkel phi zwischen x und y

c) das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelepipeds.

a

Länge x= $||x||={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}$

$||x||={\sqrt {1^{2}+1^{2}+-1^{2}}}={\sqrt {3}}$

$||y||={\sqrt {3^{2}+-1^{2}+2^{2}}}={\sqrt {14}}$

$||z||={\sqrt {2^{2}+-2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {9}}=3$

b

Skalarprodukt $<x,y>=x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2}+x_{3}*y_{3}=3-1-2=0$

$cos\varphi =<x,y>/||x||*||y||=0/{\sqrt {3}}*{\sqrt {14}}=0$

$\varphi =arccos(0)=90^{\circ }$

c

Volumen des Parallelepipeds

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|$

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&-1&2\\-1&2&1\end{bmatrix}}\right|=|-1-6+4-2-4-3|=12$