TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 427

Karatekiwi

Zum prüfen ob das Ergebnis stimmt ist: https://web.archive.org/web/20180817162621/http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm sehr hilfreich

Ansonsten lt. Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem) berechnet man den Eigenwert durch:

A (Ausgangsmatrix) - x (beliebige Variable) * I (Einheitsmatrix)

Beispiel - Ausgangsmatrix:

3 -1
-1 3

Durch die obrige Formel erhält man dann eine neue Matrix (für dieses Beispiel) in der Form:

(3-x) -1
-1 (3-x)

Dann die Determinante det(A) bestimmen. In dem Fall oben wäre es z.b.

(3-x) * (3-x) - (-1 * -1) = 9 - 3x - 3x + x^2 -1 = x^2 - 6x + 8

Diese Gleichung setzt man dann Null und ermittelt die Nullstellen. Das sind dann die Eigenwerte von A.

In dem Fall z.b. x1 = 2, x2 = 4.

krohrer

falls es jemanden intressiert, post ich schnell die Lösung:

bei x1 = 2

1. Gleichungssystem erstellen

(3-2) -1
-1 (3-2)

2. Gleichungssystem mit einem bel. Vektor (x y) multiplizieren, damit Nullvektor rauskommt

1 -1 * x = 0
-1 1 * y = 0

3. dann den Gauß anwenden, um auf die Einheitsmatrix zu kommen

1 -1
0 0

=> es fällt die letzte Zeile weg

=> 1 Zeile, 2 Unbekannte - dw darf man eine Unbekannte frei wählen

4. Gleichungssystem lösen

1x - 1y = 0

für y nimmt man zB 1 an

=> x = 1

5. Der Eigenvektor von x1=2 ist demnach alle Vielfache von dem Vektor

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