TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 465

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Angabe

$a_{n}={\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}-{\sqrt {n}}$

Man untersuche die Folge $\left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösungsweg

Angabe erweitern mit $({\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}})$:

$a_{n}={\frac {({\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}-{\sqrt {n}})\cdot ({\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}})}{{\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}}}}={\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n+{\sqrt {n}}}}+{\sqrt {n}}}}$

Jetzt wird oben und unten durch ${\sqrt {n}}$ dividiert. Unten wird solange herausgehoben, zusammengefasst und umgestellt, bis eine Division möglich ist:

$a_{n}={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {n}}}}}+1}}$

Von diesem Ausdruck kann nun auch sehr schnell der Grenzwert bestimmt werden:

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{{\sqrt {1+\underbrace {\frac {1}{\sqrt {n}}} _{\rightarrow 0}}}+1}}={\frac {1}{{\sqrt {1+0}}+1}}={\frac {1}{2}}$

Anmerkung zum Lösungsweg =

Ich persönlich hab ein wenig Probleme gehabt den "Unten wird solange herausgehoben, zusammengefasst und umgestellt, bis eine Division möglich ist" Part nachzuvollziehen. Da ich eventuell nicht alleine bin möchte ich hier die Rechenregeln die geholfen haben reinstellen:
$a*{\sqrt {b}}={\sqrt {a^{2}*b}}$
${\frac {\sqrt {a}}{b}}={\sqrt {\frac {a}{b^{2}}}}$
${\frac {\sqrt {a}}{a}}={\frac {\sqrt {a}}{{\sqrt {a}}{\sqrt {a}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}$
DANKE!

Anmerkung von Stampi: Die genannten Rechenregeln kann man aber nur anwenden weil $n\geq 0$ gilt.

Weitere Anmerkung: Ich habe keine dieser Rechenregeln angewendet, und verstehe auch nicht, wie das funktionieren soll. Den Term einfach umformen, bevor man dividiert, dann lässt sich das in einem Schritt lösen.