TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 118

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Untersuchen Sie, ob die Relation ( die symmetrische Differenz) auf der Potenzmenge einer Menge M eine Äquivalenzrelation bildet.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Äquivalenzrelation
Äquivalenzrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: ,

Symmetrie: ,

Transitivität: .

Mengen-Differenz
Mengen-Differenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

A - B - A\B
e - e - ne
e - ne - e
ne - e - ne
ne - ne - ne


e .... ist Element
ne .... ist kein Element

=)

Reflexivität
Reflexivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Symmetrie
Symmetrie[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Transitivität
Transitivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Disjunkt
Disjunkte Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Mengen und heißen disjunkt (oder elementfremd), wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.

Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente besitzen.

Definition der symmetrischen Differenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

C heißt symmetrische Differenz der Mengen A und B,

,

wenn C alle Elemente aus A enthält, die nicht zu B gehören und alle Elemente aus B, die nicht zu A gehören, d.h.:

VENN-Diagramm:

Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reflexivität heißt, dass jedes Element in Relation zu sich selbst steht:


die Relation ist definiert : A B = A

dh: wenn A in relation mit A steht => A A = A

Aber das ergibt nicht A, sondern eine leere Menge => nicht reflexiv

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

?

Symmetrie heißt, wenn für alle a,b mit aRb auch bRa folgt.

Aus der Definition der symmetrischen Differenz folgt:

Daher ist die Relation R nur dann symmetrisch, wenn A = B. D. h. sie ist im allgemeinen nicht symmetrisch.

Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

?

Eine Relation R transitiv, wenn stets gilt: (a,b) aus R UND (b,c) aus R FOLGT (a,c) aus R

Zwei Mengen A und B können entweder disjunkt sein ...


Die Mengen A und B heißen disjunkt, wenn gilt:

symbolisiert eine leere Menge.

Als VENN-Diagramm dargestellt:


... oder sich schneiden. Anhand der oben angeführten Definition der symmetrischen Differenz sieht man leicht, daß die Menge ist, wenn die Mengen disjunkt sind, oder aber die Vereinigung zweier echter Teilmengen von jeweils A und B umfaßt, wenn sie nicht disjunkt sind. Daher kann nur gelten, wenn und damit gilt.

Daraus kann man folgern:

Und damit gilt:

Daraus folgt, daß die Relation R transitiv ist.

Anmerkung hauns:

stimmt mMn nicht, denn:

B kann nicht bei ARB die leere Menge sein und dann bei BRC plötzlich nicht mehr die leere Menge sein, es ist ja ein und dieselbe Menge

Das bedeutet aber, dass egal was du machst, bei BRC bekommt man als Ergebnis nur die leere Menge, oder C:

für ARB & BRC ARC würde das aber wegen B = bei BRC bereits nicht B ergeben, sondern entweder oder C ... daher sicher nicht transitiv

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch f.thread:23103 , f.thread:22874