TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 327

Bestimmen Sie zur folgenden Permutation $\pi$ die Zyklendarstellung, das Vorzeichen, sowie die inverse Permutation $\pi ^{-1}$:

$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\8&9&1&7&2&5&4&3&6\end{pmatrix}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Signum einer Permutation

Signum einer Permutation

$\operatorname {sgn}(\pi )=(-1)^{{\text{Anzahl der Inversionen von }}\pi }=(-1)^{{\text{Anzahl Zykel}}+\sum _{i}{\text{Länge des i-ten Zykel}}}\quad$

Wikipedia

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Lösungsvorschlag

Zyklendarstellung

$\pi =(1,8,3)(2,9,6,5)(4,7)$

Erklärung: http://www.youtube.com/watch?v=t40QqRIXLRs

Signum

$\operatorname {sgn}(\pi )=(-1)^{3+9}=1$

inverse Permuation

Dazu dreht man die zwei Zeilen um und sortiert dann die Spalten, dass die Zahlen in der oberen Zeile aufsteigen

$\pi ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\3&5&8&7&6&9&4&1&2\end{pmatrix}}$