TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 245
Man ergänze die folgende Operationstafel so, daß eine Gruppe ist:
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Lösung von AndiOnline[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aus dem ersten Element a*a=b folgt, dass a nicht das neutrale Element e ist. Denn wäre a neutral, würde a*a=a (e*e=e) ergeben.
Erste Zeile, Spalte 2:
1) angenommen a*b = a: Dann wäre a das neutrale Element e. Wir haben aber bereits zuvor festgestellt, dass das nicht sein kann.
2) angenommen a*b = b: geht nicht, da b ja bereits in Zeile 1, Spalte 1 steht und bei Gruppen ein Element pro Zeile und Spalte nur
einmal vorkommen darf. Daher muss das gesuchte Element c sein.
Für die 3. Spalte bleibt daher nur noch "a" als Möglichkeit übrig. Wegen a*c=a stellen wir fest, dass c das neutrale Element e sein muss (a*e=e).
Da wir nun wissen, dass c das neutrale Element ist, können wir Spalte 3 und Zeile 3 vervollständigen, da die Verknüpfung mit dem neutralen Element immer wieder das ursprüngliche Element ergibt.
Die restlichen Element können wir so einsetzen, dass keines der Elemente in einer Spalte/Zeile mehrfach vorkommt (Sudoku-Prinzip).
Die fertige Tafel sieht dann folgendermaßen aus:
| * | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | b | c | a |
| b | c | a | b |
| c | a | b | c |
- Ähnliche Beispiele: