TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 265

Sei $\phi :G\to H$ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Man zeige, daß dann auch ${\phi }^{-1}:H\to G$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Hilfreiches

Definition:

Eine Gruppe $<G,\circ >$ ist eine Menge G mit einer Verknüpfung $\circ$, so dass folgende Axiome gelten:

• abgeschlossen bzgl. seiner Operation $\circ$

• assoziativ ($\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$),

• beinhaltet ein neutrales Element ($\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$

• sowie inverse Elemente ($\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Definition:

Seien $<G,\bullet >$ und $<H,\star >$ Gruppen.

Eine Abbildung $\phi :G\to H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\phi (a\bullet b)=\phi (a)\star \phi (b)\mathrm{\forall }a,b\in G$.

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