TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 404

Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 18, d.h. alle Restklassen ${\overline {a}}$ mit ggT(a, 18)=1. Man zeige, daß die Menge $\Gamma _{18}$ dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches

Gruppe

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in G,
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$,
• beinhaltet ein neutrales Element $e$: $\quad \forall a:\quad a\circ e=a$
• sowie inverse Elemente: $\forall a\quad \exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e$.

Lösungsvorschlag Hapi

$\Gamma _{18}$= {1,5,7,11,13,17}

(Anmerkung: 2 und 3 teilen 2,4,6,8,10,12,14 und 16!)

Operationstafel:

${\begin{array}{c|cccccccc}*&1&5&7&11&13&17\\\hline 1&1&5&7&11&13&17\\5&5&7&17&1&11&13\\7&7&17&13&5&1&11\\11&11&1&5&13&17&7\\13&13&11&1&17&7&5\\17&17&13&11&7&5&1\end{array}}$

Hieraus kann man ablesen:

• Die Operation ist abgeschlossen
• $\exists$ neutrales Element ("1")
• $\forall$ Elemente $\exists$ inverses Element (in allen Zeilen/Spalten kommt "1" vor)

Da $\Gamma _{18}<\mathbb {Z}$ und Assoziativität schon in $\mathbb {Z}$ gegeben ist, auch in $\Gamma _{18}$.

Alle Gruppenbedingungen sind erfüllt.

Links

Ähnliche Beispiele:

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