TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 427
Beweisen Sie, daß die angegebene Identität in einem Ring für alle gilt (- bezeichnet das additive Inverse zu )
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
--Jellyfish 04:05, 12. Dez 2007 (CET)JELLYFISH:
(R,+):abelsche Gruppe (R,*):Monoid
wenn a,b gehören R , dann (a * b) gehört R -->[ (a*b)+ -(a*b) = 0 ] (0 neutrales Element bez. "+")
(a + (-a) = 0)
(a + (-a)) * b = 0 * b
(a + (-a)) * b = 0
laut distributivitat :
a* b + (-a) * b = 0
und jetzt addieren wir [-(a*b)] auf beiden seiten:
also -(a*b) + a*b + (-a) * b = - (a * b)
aber -(a*b) + (a*b) = 0
also
(-a) * b = - (a * b)
p.s.:smile :) By Jellyfish
Zusatz:
Beweis dass 0 * b = 0 (vom Übungsleiter verlangt ;)
0 + 0 = 0
(0 + 0)*b = 0*b |Distributivgesetz in jedem Ring gültig
0*b + 0*b = 0*b |-(0*b)
0*b = 0
Lösungsvorschlag von m4rS[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nachdem in der Angabe steht, dass -c das additiv Inverse ist, wollt ich das unbedingt in die Lösung einfließen lassen ;), also hier meine Varainte, keine Ahnung obs stimmt
ist das gleiche wie
Das additiv Inverse zu ist , addieren wir zu beiden Seiten, ergibt
Damit ist auch das additiv Inverse zu und da es laut Def. in einer Gruppe nur ein Inverses Element zu jedem geben kann, ist
Anmerkung von Ryus: Ich bezweifle die Richtigkeit dieser Lösung, da hier - so wie ich das sehe - einfach von dem ausgegangen wird, was zu beweisen ist (wir nehmen die zu beweisende Formel und zeigen, dass wenn sie stimmt, sie dann stimmt), was dann natürlich so eine Art Zirkelschluss ist.
Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(Basierend auf der Lösung von Jellyfish mit ergänzenden Erklärungen)
Eine algebraische Struktur heißt Ring, wenn eine kommutative Gruppe ist, eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze gelten (siehe Definition 2.68). Nach dem eine kommutative (Abelsche) Gruppe ist, muss es ein neutrales Element und ein inverses Element für geben:
Nach dem eine Halbgruppe ist, muss zumindest das Ergebnis von zwei Operationen wieder in der Halbgruppe enthalten sein. Deshalb können wir beide Seiten einfach mit multiplizieren:
Nun müssen wir zeigen, dass gilt (siehe auch Mathematik für Informatik (2014), S. 90):
- gilt in jedem Ring, weil:
- Nach Addition mit folgt:
Daher können wir schreiben:
Nach dem Distributivitätsgesetz können wir die Klammern ausmultiplizieren:
Jetzt müssen wir nur noch auf die rechte Seite bringen und wir sind fertig:
Da gilt auch weil eine Halbgruppe ist und gilt ebenfalls, da das das inverse Element bezüglich der Addition ist:
-- Berti933 (Diskussion) 16:25, 18. Jan. 2015 (CET)