TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 523

Sei $V=\mathbb {C} ^{3}$, $U=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{1}-z_{2}=z_{3}\}$, $W=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{2}=z_{1}\}$. Zeigen Sie, daß $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösung von mathematica4

Dass U und W Teilräume von V sind, zeigt man mit den Unterraumkriterien:

- U und W sind nicht leer

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in U\quad$

- Additivität

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U,W\quad$

- Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}\in U,W\quad$

Anwendung der Unterraumkriterien für U:

U ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in U\quad$

Additivität

Sei

${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

Dann ist

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+&y_{1}\\-x_{2}&+&-y_{2}\\x_{3}&+&y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\--x_{2}-y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in U\quad$

Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda -x_{2}\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}\in U\quad$

$\Longrightarrow$ U ist ein Teilraum von V

Anwendung der Unterraumkriterien für W:

W ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W\quad$

Additivität

Sei

${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

Dann ist

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+&y_{1}\\-x_{2}&+&-y_{2}\\x_{3}&+&y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\--x_{2}-y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad$

Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda x_{1}\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad$

$\Longrightarrow$ W ist ein Teilraum von V

Dimension von U $\left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\right|=2$

Dimension von W $\left|{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Links

Wikipädia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Körper
• Dimension
• Abgeschlossenheit
• Basis

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/ Beispiel 360
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