TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 428

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$.

Bestimmen Sie für die lineare Abbildung A die Matrix bezüglich der kanonischen Basis.

Hilfreiches

Lineare Abbildung

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\boxplus ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})$
2. $\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}$

Lösungsvorschlag

kanonische Basis $E=\left\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}\right\}\qquad {\vec {e}}_{1}={1 \choose 0},{\vec {e}}_{2}={0 \choose 1}$

Matrix der linearen Abbildung A bzgl. der kanonischen Basis:
$M_{E}={\begin{pmatrix}A\cdot {\vec {e}}_{1}\ A\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A{1 \choose 0}\ A{0 \choose 1}\end{pmatrix}}$

$A{0 \choose 1}={1 \choose -1}$ ist bereits in der Angabe vorhanden

fehlt noch $A{1 \choose 0}$, aber dass lässt sich mit Hilfe der Eigenschaften für die linearen Abbildungen berechnen:

$A{1 \choose 0}=A\left({\frac {1}{3}}{3 \choose 2}-{\frac {2}{3}}{0 \choose 1}\right)=$ $A\left({\frac {1}{3}}{3 \choose 2}\right)-A\left({\frac {2}{3}}{0 \choose 1}\right)=$ ${\frac {1}{3}}A{3 \choose 2}-{\frac {2}{3}}A{0 \choose 1}={\frac {1}{3}}{1 \choose -1}-{\frac {2}{3}}{1 \choose -1}$
$A{1 \choose 0}={{\frac {1}{3}} \choose -{\frac {1}{3}}}-{{\frac {2}{3}} \choose -{\frac {2}{3}}}={-{\frac {1}{3}} \choose {\frac {1}{3}}}$

$M_{E}={\begin{pmatrix}A{1 \choose 0}&A{0 \choose 1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}&1\\{\frac {1}{3}}&-1\end{pmatrix}}$

Matrix bzgl. einer beliebigen Basis

Prinzipiell kann man die Matrix einer lin. Abbildungen bzgl. jeder beliebigen Basis $B=\left\{{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2}\right\}$ errechnen.

Nachdem ${0 \choose 1},{3 \choose 2}$ linear unabhängig sind, kann man gleich diese beiden Vektoren als Basis hernehmen, d.h. dann wäre ${\vec {b}}_{1}={0 \choose 1},{\vec {b}}_{2}={3 \choose 2}$

Nun muss man nur aufpassen, dass auch das Ergebnis als Linearkomination der neue Basis betrachtet. Weil um genau zu sein, besteht die Matrix der Abbildung aus den Koeffizienten der Linearkombination.
Bei der kanonsichen Basis fällt dieser Schritt weg, weil die Koeffizienten der Lin.Kombination immer gleich den Koordinaten ist.

$A\cdot {\vec {b}}_{1}=A{0 \choose 1}=a\cdot {\vec {b}}_{1}+b\cdot {\vec {b}}_{2}=a\cdot {0 \choose 1}+b\cdot {3 \choose 2}={1 \choose -1}=-{\frac {5}{3}}\cdot {0 \choose 1}+{\frac {1}{3}}\cdot {3 \choose 2}$

$A\cdot {\vec {b}}_{2}=A{3 \choose 2}=c\cdot {\vec {b}}_{1}+d\cdot {\vec {b}}_{2}=c\cdot {0 \choose 1}+d\cdot {3 \choose 2}={1 \choose -1}=-{\frac {5}{3}}\cdot {0 \choose 1}+{\frac {1}{3}}\cdot {3 \choose 2}$

$M_{B}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {5}{3}}&-{\frac {5}{3}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$

Matrix bzgl. zweier unterschiedlicher Basen

Und schlussendlich kann man noch ganz lustig sein, und Matrix für 2 unterschiedliche Basen berechnen. Man kann sich das dann so vorstellen, dass die Matrix nicht nur die eigenltiche Funktion durchführt, sondern zusätzlich noch eine Koordinatentransformation.

Ich führe es hier nur an, weil das bei diesem Beispiel die schnellste Variante ist, um zu einer Matrix zu gelangen, mit der man z. B. Rang und Defekt bestimmen kann.

Also in dem Fall gehe ich davon aus, dass ich von der Basis B (siehe oben) in Basis E (kanonische) abbilden will.

Man geht so vor, wie im Fall von einer beliebigen Basis, nur wird die Linearkombination durch die Basisvektoren des Ziels (in unserem Fall E) gebildet:

$A\cdot {\vec {b}}_{1}=A{0 \choose 1}=a\cdot {\vec {e}}_{1}+b\cdot {\vec {e}}_{2}=a\cdot {1 \choose 0}+b\cdot {0 \choose 1}={1 \choose -1}=1\cdot {1 \choose 0}+-1\cdot {0 \choose 1}$
$A\cdot {\vec {b}}_{2}=A{0 \choose 1}=c\cdot {\vec {e}}_{1}+d\cdot {\vec {e}}_{2}=a\cdot {1 \choose 0}+b\cdot {0 \choose 1}={1 \choose -1}=1\cdot {1 \choose 0}+-1\cdot {0 \choose 1}$

Und daran sieht man schon was ich mit schnell meine; man muss hier nicht groß herumrechnen, sondern setzt einfach die Ergebnissvektoren aus der Angabe ein:

$M_{BE}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}$