TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 45

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

$\frac{|z+5|}{|z|}<4$

Nützliches und Hilfreiches

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$
  Kreisgleichung:                    r  = $\sqrt{a^2+b^2}$

siehe auch Beispiel 44

Umrechnung komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $⟶$ Polar-Darstellung: $(a,𝗂b)\to [r,\phi ]:$

$r=\sqrt{a^2+b^2},$

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& a>0\text{(I., IV. Quadrant)}\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & a<0,b>0\text{(II. Quadrant)}\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & a<0,b<0\text{(III. Quadrant)}\end{array}$

• Polare $⟶$ kartesische Darstellung: $[r,\phi ]\to (a,𝗂b):\{\begin{array}{c}a=r\cdot \cos \phi \\ b=r\cdot \sin \phi \end{array}$

Lösung (korrigiert, analog Beispiel 44)

Zunächst muß die Ungleichung umgeformt werden, indem man beide Seiten mit |z| multipliziert.

      |z + 5| < 4*|z|                      

1. Ansatz: Bruch auflösen (* |z|)und dann |z| umformen ($|z{|}^2=z\ast \overline{z}$)

 $|z+5{|}^2<16\ast |z{|}^2$
 
 $(z+5)\ast (\overline{z}+5)<16\ast z\ast \overline{z}$

Ausmultiplizieren:

 $(z\ast \overline{z}+5z+5\overline{z}+25)<16\ast z\ast \overline{z}$

Alles auf eine Seite bringen und dann durch -15 dividieren:

  $-15z\ast \overline{z}+5z+5\overline{z}+25>0$  
  
  $z\ast \overline{z}-1/3z-1/3\overline{z}-5/3>0$                 | auf vollständiges Quadrat bringen $\pm$ 1\9
  
  $z\ast \overline{z}-1/3z-1/3\overline{z}+1/9-1/9-15/9>0$   | Quadrate bilden und in |z| rückformen
  
  $|z-1/3{|}^2>16/9$                         | Wurzel ziehen   
  
  $|z-\frac{1}{3}|>\frac{4}{3}$

Ergibt als Lösung:

  $|z-\frac{1}{3}|>\frac{4}{3}$ 

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die obige Gleichung erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius $(x-1/3{)}^2+b^2$ vor, dessen Mittelpunkt auf der Zahl $\frac{1}{3}$ liegt. Alle komplexen Zahlen, die *nicht* in dem Kreis liegen, sind die die Lösungsmenge.