TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 45

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

${\frac {|z+5|}{|z|}}<4$

Nützliches und Hilfreiches

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
  Kreisgleichung:                    r  = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

siehe auch Beispiel 44

Umrechnung komplex

Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

• Kartesische $\longrightarrow$ Polar-Darstellung: $\;(a,{\mathsf {i}}b)\;\rightarrow \;[r,\varphi ]:$

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

$\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&a>0\qquad {\text{(I., IV. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &a<0,b>0\quad {\text{(II. Quadrant)}}\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &a<0,b<0\quad {\text{(III. Quadrant)}}\end{cases}}$

• Polare $\longrightarrow$ kartesische Darstellung: $\;[r,\varphi ]\;\rightarrow \;(a,{\mathsf {i}}b):\quad {\begin{cases}a=r\cdot \cos \varphi \\b=r\cdot \sin \varphi \end{cases}}$

Lösung (korrigiert, analog Beispiel 44)

Zunächst muß die Ungleichung umgeformt werden, indem man beide Seiten mit |z| multipliziert.

      |z + 5| < 4*|z|                      

1. Ansatz: Bruch auflösen (* |z|)und dann |z| umformen ($|z|^{2}=z*{\bar {z}}$)

 $|z+5|^{2}<16*|z|^{2}$
 
 $(z+5)*({\bar {z}}+5)<16*z*{\bar {z}}$

Ausmultiplizieren:

 $(z*{\bar {z}}+5z+5{\bar {z}}+25)<16*z*{\bar {z}}$

Alles auf eine Seite bringen und dann durch -15 dividieren:

  $-15z*{\bar {z}}+5z+5{\bar {z}}+25>0$  
  
  $z*{\bar {z}}-1/3z-1/3{\bar {z}}-5/3>0$                 | auf vollständiges Quadrat bringen $\pm$ 1\9
  
  $z*{\bar {z}}-1/3z-1/3{\bar {z}}+1/9-1/9-15/9>0$   | Quadrate bilden und in |z| rückformen
  
  $|z-1/3|^{2}>16/9$                         | Wurzel ziehen   
  
  $|z-{\frac {1}{3}}|>{\frac {4}{3}}$

Ergibt als Lösung:

  $|z-{\frac {1}{3}}|>{\frac {4}{3}}$ 

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die obige Gleichung erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius $(x-1/3)^{2}+b^{2}$ vor, dessen Mittelpunkt auf der Zahl ${\frac {1}{3}}$ liegt. Alle komplexen Zahlen, die *nicht* in dem Kreis liegen, sind die die Lösungsmenge.