TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 5

Zeigen Sie, dass $\sqrt{30}$ irational ist!

• Behauptung: $\sqrt{30}\notin \mathbb{Q}$
• Beweis:

angenommen $\sqrt{30}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, wobei $p,q\in \mathbb{N},q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$30=\frac{p^2}{q^2}$

$30\cdot q^2=p^2$

$\Rightarrow p^2$ ist durch 30 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 30 teilbar $\Rightarrow p=30\cdot r,r\in \mathbb{N}$

$(30\cdot r{)}^2=30\cdot q^2$

$30\cdot r^2=q^2$

$\Rightarrow q^2$ ist durch 30 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 30 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 30 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind.

=> die Behauptung $\sqrt{30}\notin \mathbb{Q}$ ist falsch.

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Hab ich von Beispiel4 kopiert. Der Beweis ist der komplett gleiche, nur eine andere Zahl