TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 5

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {30}}$ irational ist!

• Behauptung: ${\sqrt {30}}\notin \mathbb {Q}$
• Beweis:

angenommen ${\sqrt {30}}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$, wobei $p,q\in \mathbb {N} ,q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$30={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$30\cdot q^{2}=p^{2}$

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 30 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 30 teilbar $\Rightarrow p=30\cdot r,\quad r\in \mathbb {N}$

$(30\cdot r)^{2}=30\cdot q^{2}$

$30\cdot r^{2}=q^{2}$

$\Rightarrow q^{2}$ ist durch 30 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 30 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 30 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind.

=> die Behauptung ${\sqrt {30}}\notin \mathbb {Q}$ ist falsch.

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Hab ich von Beispiel4 kopiert. Der Beweis ist der komplett gleiche, nur eine andere Zahl