TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 42

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.

$a_{n}={\frac {{\frac {n^{2}-4}{4n^{2}-7n}}-{\frac {\cos n}{2n-5}}}{\frac {3n^{2}+2}{(n-3)^{2}}}}$

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Lösung von Andreas

Höchste Hochzahlen herausheben und von den einzelnen Teilen im Doppelbruch die Grenzwerte berechnen. Die Zerteilung ist wie in Satz 4.14/4.16 beschrieben erlaubt.

$a_{n}={\frac {{\frac {n^{2}(1-{\frac {4}{n^{2}}})}{n^{2}(4-{\frac {7}{n}})}}-cos(n){\frac {1}{n(2-{\frac {5}{n}})}}}{\frac {n^{2}(3+{\frac {2}{n^{2}}})}{n^{2}(1-{\frac {6}{n}}+{\frac {9}{n^{2}}})}}}$

Man untersucht nun den Grenzwert der Teilkomponenten bei $\lim _{n\to \infty }a_{n}$

$n^{2}$ kürzt sich weg, $cos(n)$ schwankt zwischen 1 und -1, alle Brüche der Form Zahl / (Vielfaches von n) haben Grenzwert 0. Es bleiben somit nur die Konstanten übrig.

${\frac {{\frac {1-0}{4-0}}-0}{\frac {3}{1}}}={\frac {\frac {1}{4}}{\frac {3}{1}}}={\frac {1}{12}}$

Edit peter1058: für alle die´s vergessen haben: Doppelbrüche: Oberen Bruch abschreiben und mit dem Kehrwert des unteren multiplizieren ;-)

Die Folge konvergiert also gegen den Grenzwert ${\frac {1}{12}}$

Edit peter1058: beim cos bin ich mir aber nicht ganz sicher, denn der Bruch nachdem cos(n) ergibt ja 1/2!? Oder steh ich grad auf der Leitung?

Edit SoulRiser: Der Term nach dem Cosinus ist beim Limes = 0, deswegen ist es egal was der Cosinus macht, weil er mit 0 multipliziert wird

Lösungsvorschlag von Berti

Es müsste reichen, die Rechenregeln für Grenzwerte (Satz 4.14 bzw. 4.16 sowie der Trick aus Beispiel 4.17 aus dem Buch Mathematik für Informatik) anzuwenden. Die Untersuchung auf Konvergenz erfolgt indirekt, indem wir die Rechenregeln nicht blind anwenden sondern die Folgen evtl. umformen, sodass die Kriterien von Satz 4.14 und 4.16 auch erfüllt sind. (Analog zu Beispiel 42).

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}-4}{4n^{2}-7n}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {\cos n}{2n-5}}}{\lim _{n\to \infty }{\frac {3n^{2}+2}{(n-3)^{2}}}}}$

Hier nehmen wir Satz 4.16 Abs. (iv) zur Hand:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\cos n}{2n-5}}=0$

Hier heben wir heraus, wodurch wir die Sätze 4.14 und 4.16 auf die ursprünglich uneigentlich konvergenten Folgen anwendbar machen (siehe Beispiel 4.17):

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}-4}{4n^{2}-7n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}(1-{\frac {4}{n^{2}}})}{n^{2}(4-{\frac {7}{n}})}}={\frac {1}{4}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {3n^{2}+2}{(n-3)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}(3+{\frac {2}{n^{2}}})}{n^{2}(1-{\frac {6}{n}}+{\frac {9}{n^{2}}})}}=3$

Womit

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {1}{12}}$

übrig bleibt.

-- Berti933 (Diskussion) 11:18, 21. Apr. 2015 (CEST)