TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 6

Zeigen Sie, dass $\sqrt{42}$ irational ist!

• Behauptung: $\sqrt{42}\notin \mathbb{Q}$
• Beweis:

angenommen $\sqrt{42}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, wobei $p,q\in \mathbb{N},q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$42=\frac{p^2}{q^2}$

$42\cdot q^2=p^2$

$\Rightarrow p^2$ ist durch 42 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 42 teilbar $\Rightarrow p=42\cdot r,r\in \mathbb{N}$

$(42\cdot r{)}^2=42\cdot q^2$

$42\cdot r^2=q^2$

$\Rightarrow q^2$ ist durch 42 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 42 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 42 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind.

=> die Behauptung $\sqrt{42}\notin \mathbb{Q}$ ist falsch.

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Hab ich von Beispiel4 kopiert. Der Beweis ist der komplett gleiche, nur eine andere Zahl