TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 132

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$ :
$f(x)=Arccos({\sqrt[{4}]{x^{2}-2}})$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

${\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung) (Satz 5.5)

arccos'

Arccos'

$\mathrm {arccos} \,'(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ Folgt aus Umkehrregel.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionsmenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arccos ist definiert im Intervall [-1, +1]. Da die 4te Wurzel jedoch keine negativen Werte liefern kann, beschränkt sich der Bereich auf [0, +1].

Auf die Funktion $f(x)$ angewendet, heißt das:

{\begin{array}{rcll}0\leq &{\sqrt[{4}]{x^{2}-2}}&\leq 1&|\uparrow 4\\0\leq &x^{2}-2&\leq 1&|+2\\2&\leq x^{2}&\leq 3&|{\sqrt {\quad }}\\{\sqrt {2}}&\leq |x|&\leq {\sqrt {3}}\\\end{array}}

Ja da hats etwas, das Ergebnis paast, zumindest der rechte Teil...

$\Longrightarrow {\text{Definitionbereich ist:}}{\begin{cases}{\sqrt {2}}&\leq x\leq {\sqrt {3}}\\-{\sqrt {2}}&\geq x\geq -{\sqrt {3}}\end{cases}}$

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung von $\arccos$ ist: $\arccos '(n)=-{\frac {1}{\sqrt {1-n^{2}}}}$

Ableiten der Funktion $f(x)$ mittels Kettenregel:

$f'(x)=\arccos '({\sqrt[{4}]{x^{2}-2}})=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\sqrt {x^{2}-2}}}}}\cdot {\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(x^{2}-2\right)^{3/4}}}\cdot 2x$

Nenner-Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Daraus ergibt sich, daß die Funktion an folgenden Stellen ebenfalls undefiniert ist:

erster Nenner-Term:

${\begin{array}{rl}{\sqrt {(x^{2}-2)}}=1&\Rightarrow \\x^{2}-2=\pm 1&\Rightarrow \\x^{2}=\pm 1,\pm 3&\Rightarrow \\x=\pm 1,\pm {\sqrt {3}}\end{array}}$

zweiter Nenner-Term:

$x=\pm {\sqrt {2}}$

Für diese sechs Stellen ist $f(x)$ also ebenfalls undefiniert.

Fazit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion $f(x)$ ist in folgenden Intervallen definiert:

${\sqrt {2}}<x<{\sqrt {3}}$
$-{\sqrt {2}}>x>-{\sqrt {3}}$

Das Ergbnis paast, aber wie man drauf kommt ist noch offen.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionsbereich richtig?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ich bin mir nicht sicher, ob der Definitionsbereich komplett stimmt. Wenn man eine Zahl für x zwischen - ${\sqrt {2}}$ und + ${\sqrt {2}}$ einsetzt, ist der Betrag unter der Wurzel negativ und somit die Wurzel nicht definiert. Also kann auch der arccos in diesem Bereich keinen Wert haben. Sollte der Definitionsbereich also nicht zwischen ${\sqrt {2}}$ und ${\sqrt {3}}$ bzw. - ${\sqrt {3}}$ und - ${\sqrt {2}}$ liegen?

Lösung vom 11.03.2010[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Der Innere Teil der Wurzel muss größer als 0 sein:

{\begin{array}{rcll}0\leq &x^{2}-2&|+2\\2&\leq x^{2}&|{\sqrt {\quad }}\\x_{1}&\leq {\sqrt {2}}\\x_{2}&\leq -{\sqrt {2}}\\\end{array}}

2. dann die Definition über den Definitionsbereich von arccos [1,-1]

{\begin{array}{rcll}-1\leq &{\sqrt[{4}]{x^{2}-2}}&\leq 1&|\uparrow 4\\.\\.\\.\\{x^{2}-2}\in [0,1]\end{array}}

Sorry habs nicht genauer. Die Ableitung ist zwar gefordert, aber sie gibt nur Hinweise zum Definitionsbereich, es kann nicht davon ausgegangen werden, das die Grundfunktion und die Ableitung die selbe Definitionsmenge haben !