SS08 Beispiel 1
WS09 Beispiel 7
Man überprüfe die Gleichung
für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.
Gültigkeit für die ersten fünf natürlichen Zahlen
n
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links
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rechts
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Alle stimmen überein.
Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion
Induktionsanfang:
n = 1
1 = 1
Induktionsannahme:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c48162f0a47691800911bf2a98755c32&mode=mathml)
Induktionsbehauptung:
und die zeigt man, indem man die Induktionsannahme auf der linken Seite einsetzt und zeigt, dass das das gleiche wie die rechte Seite ergibt also:
wir wissen ja bzw. wir haben angenommen, dass
stimmt
das n+1 - Element der Summe ist ja ![{\displaystyle n^{2}+2n+1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9e06d25509d67c35b8398f7b42da9cec&mode=mathml)
somit kann man das ganze schreiben als
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n+1}k^{2}=(n^{2}+2n+1)+\sum _{k=0}^{n}k^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e29373bb182bd24aaa322c076e1b3e60&mode=mathml)
jetzt setzte ich die Induktionsannahme für das
ein, also
und vereinfache diesen Ausdruck
(B)
das gleiche macht man mit dem rechten Ausdruck ![{\displaystyle {\frac {(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2b11eada358c64dacf915ab89103f5d4&mode=mathml)
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(A)
und sieht dann, dass
A = B
Q.E.D
Quelle
Abgewandelt aus f.thread:16632 - Ausgabe mit AMSLaTeX formatiert
Grundlagen
2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005