TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Buch Mathematik fuer Informatik/Beispiel 1.2

Man beweise mittels vollständiger Induktion: Ist $F_{0}=0,F_{1}=1$ und $F_{\text{n+2}}=F_{\text{n+1}}+F_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$, so gilt

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}}

$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n})$.

Lösungsvorschlag von Mpp

--Mpp 12:21, 29. Jan. 2022 (CET)

Induktionsanfang

$n=0$
${\frac {1}{\sqrt {5}}}(({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{0}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{0})$
Etwas hoch 0 ist 1, 1 - 1 = 0, etwas * 0 ist 0
${\frac {1}{\sqrt {5}}}*0=0$

Induktionsvoraussetzung

$\exists n\in \mathbb {N} :F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n})$

Induktionsbehauptung

$F_{\text{n+1}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{(n+1)}}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{(n+1)}})$

Induktionsschritt

Indexverschiebung
${\frac {1}{\sqrt {5}}}(({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{(n+2)}}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{(n+2)}})={\frac {1}{\sqrt {5}}}(({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{(n+1)}}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{(n+1)}})+{\frac {1}{\sqrt {5}}}(({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{n}}-({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{\text{n}})$
Jetzt so lange vereinfachen bis offensichtlich auf beiden Seiten dasselbe steht.
Anfang: beiden Seiten $*{\sqrt {5}}$