TU Wien:Mathematik 1 VO (Panholzer)/Stoff WS05/5. VO 24.10.2005

Komplexe Zahlen

$\mathbb {C} =\{a+b*i\qquad |\qquad a,b\in \mathbb {R} \}$

$z=a+b*i$

• Realteil a
• Imaginärteil b

$\mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$ ( rechte Obermenge $\mathbb {C}$ )

b = 0 setzen $\Rightarrow$ liefert $\mathbb {R}$

betrachte i:

$i^{2}=-1\qquad <\qquad 0$

aber: wähle $x\in \mathbb {R}$ beliebig $\Rightarrow \qquad x^{2}\geq 0$, weil:

• $x\geq 0\qquad 0\leq x|*x\qquad \Rightarrow 0=0*x\leq x*x=x^{2}$
• $x\leq 0\qquad x\leq 0|*x\qquad \Rightarrow x^{2}=x*x\geq 0*x=0$

$\langle \mathbb {C} ,+,*\rangle$ bildet Körper

Darstellung der komplexen Zahlen

Gauß'sche Zahlenebene

siehe 4._VO_19.10.2005#Komplexe_Zahlen_2

Kartesische Koordinaten

(a,b)

Polarkoordinaten

• $\phi$ ... Öffnungswinkel (Argument von z)
• r ... Betrag vom Vektor (Betrag von z)

$z=a+b*i$ Darstellung $[r,\phi ]$

$z=r*cos\phi +r*sin\phi *i$

• $r*cos\phi$ ... a
• $r*sin\phi$ ... b

$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$\phi =arg(z)={\begin{cases}arctan{\frac {b}{a}}(\pm \pi )\\{\frac {\pi }{2}},b>0\Rightarrow a=0\\-{\frac {\pi }{2}},b<0\Rightarrow a=0\\{\text{undef}}a=b=0\end{cases}}$

Man beachte die Perioden! $-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}$

$tan(\phi *k*r)\qquad \forall k\in \mathbb {R}$

$arctan\phi$

Man beachte die Perioden! $-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}$

$arctan{\frac {b}{a}}+\pi \qquad a<0\qquad b>0\Rightarrow$ 2. Quadrant $arctan{\frac {b}{a}}-\pi \qquad a<0\qquad b<0\Rightarrow$ 3. Quadrant

liefert "Hauptwert" von $arg(z)$

$-\pi <\phi \leq \pi$

$a=r*cos\phi$ $b=r*sin\phi$

Rechnen in Polarkoordinaten

$z_{1}=[r_{1},\phi _{1}]\qquad z_{2}=[r_{2},\phi _{2}]$

$z_{1}*Z_{2}=r_{1}*(cos\phi _{1}*sin\phi _{1})*r_{2}*(cos\phi _{2}*i*sin\phi _{2})=$

$=r_{1}*r_{2}*(cos\phi _{1}*cos\phi _{2}-sin\phi _{1}*sin\phi _{2})+i*(sin\phi _{1}*cos\phi _{2}-cos\phi _{1}*sin\phi _{2})=$

$r_{1}*r_{2}*(cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i*sin(\phi _{1}+\phi _{2}))$

$[r_{1},\phi _{1}]*[r_{2},\phi _{2}]=[r_{1}*r_{2},\phi _{1}+\phi _{2}]$

$z=[r,\phi ]\qquad z^{-1}=[{\tilde {r}},{\tilde {\phi }}]\qquad z*z^{-1}=1=[1,0]$

$[r,\phi ]*[{\tilde {r}},{\tilde {\phi }}]=[1,0]$

$r*{\tilde {r}}=1\qquad \Rightarrow \qquad {\tilde {r}}={\frac {1}{r}}$

$\phi +{\tilde {\phi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\tilde {\phi }}=-\phi$

$\Rightarrow z^{-1}=[{\frac {1}{r}},-\phi ]$

(Spiegelung 1./4. Quadrant)

Potenzieren: $z=[r,\phi ]$

$z^{n}=[r^{n},n*\phi ]$