TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 328

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Man berechne alle möglichen Gleichgewichtslagen der nichtlinearen Differentialgleichung

y' = y \left(\frac{8y}{y+1} - y - 1\right)

und überprüfe sie auf Stabilität.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Die erste Nullstelle y_1^* = 0 ergibt sich trivial, die anderen beiden sind durch Nullsetzen des Klammerausdrucks erhältlich:

\begin{align}
0 &= \frac{8y}{y+1} - y - 1 \\
y + 1 &= \frac{8y}{y+1} \\
y^2 + 2y + 1 &= 8y \\
y^2 - 6y + 1 &= 0 \\
y_{2,3}^* &= 3 \pm \sqrt 8
\end{align}

\begin{align} f(x)
&= y' \\
&= y \left(\frac{8y}{y+1} - y - 1\right) \\
&= \frac{8y^2}{y+1} - y^2 - y
\end{align}

\begin{align} f'(x)
&= \frac{16y^2 + 16y - 8y^2}{(y+1)^2} - 2y - 1 \\
&= \frac{8y^2 + 16y}{(y+1)^2} - 2y - 1
\end{align}

f'(y_1^*) = f'(0) = -1 < 0 (asymptotisch stabil)

f'(y_2^*) = f'(3+\sqrt8) = -4.82842712474619 < 0 (asymptotisch stabil)

f'(y_3^*) = f'(3-\sqrt8) = 0.828427124746191 > 0 (instabil)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

71er.jpg

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 19:28, 2. Jul 2006 (CEST)

Log der Verbesserungen[Bearbeiten]

  • Flüchtigkeitsfehler korr. --Markus Nemetz 12:45, 3. Jul 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

  • Karigl 04 Beispiel 46
  • Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 164 / SS07 Beispiel 226
  • WS 10 Beispiel 56