TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 315

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Man bestimme die partiellen Ableitungen:

f(x,y)=\arctan\left(\frac{4x^2y^2}{1+x+y}\right)

Hilfreiches[edit]

Arctan'
Arctan'[Bearbeiten, WP]

\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2} Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation: \biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x) (Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Quotientenregel

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag von Thomas[edit]

Setzen wir

u = \frac{4x^2y^2}{1+x+y}

können wir mit Hilfe der Kettenregel und der Ableitung des arctan im ersten Schritt sagen:

f'(x,y) = \frac{1}{1+u^2} \cdot u' = \frac{1}{1+(\frac{4x^2y^2}{1+x+y})^2} \cdot u' = \frac{(1+x+y)^2}{16x^4y^4 + (1+x+y)^2}  \cdot u'

um f_x und f_y zu erhalten, müssen wir mit der Quotientenregel nun u separat nach x, nach y differenzieren

\left(\frac{a}{b}\right)' = \frac{a'b - ab'}{b^2}

wir setzen also

a = 4x^2y^2 \, 
b = 1+x+y \,

abgeleitet nach x:

a' = 8xy^2 \, 
b' = 1 \,

eingesetzt:

u' = \frac{(8xy^2)(1+x+y) - (4x^2y^2)\cdot 1}{(1+x+y)^2}

term zusammengesetzt, ausmultipliziert und gekürzt:


\begin{align}
f_x(x,y)  & = \frac{(1+x+y)^2}{16x^4y^4 + (1+x+y)^2}  \cdot \frac{(8xy^2)(1+x+y) - (4x^2y^2)\cdot 1}{(1+x+y)^2}\\
          & = \frac{(8xy^2 (1+x+y) - 4x^2y^2) \cdot (1+x+y)^2}{16x^4y^4 + (1+x+y)^2 \cdot (1+x+y)^2}  \\
          & = \frac{8xy^2 (1+x+y) - 4x^2y^2}{16x^4y^4 + (1+x+y)^2}
\end{align}

Um f_y zu erhalten, muss man analgo u nach y abgeleitet werden. Hier ändert sich in Wirklichkeit bei a' aber nur die Potenz denn

4x^2y^2

nach y abgeleitet ergibt

4x^2 2y = 8x^2y

und b' nach y abgeleitet bleibt 1

was sich bei der Term Berechnung also nicht auswirkt.

f_y(x,y) = \frac{8x^2y (1+x+y) - 4x^2y^2}{16x^4y^4 + (1+x+y)^2}

somit haben wir beide partielle Ableitungen von f nach x bzw. y bestimmt, was zu zeigen war.

Anmerkungen[edit]

Lösung von Ornat[edit]

  • f(x)´= 1/ (1 + (4x²y² / 1+x+y)²) * 8xy²(1+x+y)-4x²y²*1 / (1+x+y)²
  • f(x)´= 8xy²*(1+x+y)-4x²y² / (1+x+y)² + (4x²y²/1+x+y)² * (1+x+y)²
  • f(x)´= 8xy² + 8x²y² + 8xy³ - 4x²y² / x² + 2x +2y + 2xy + 1 + [16x^4y^4*(1+x+y)²/(1+x+y)²]
  • f(x)´= f(x)´= 8xy²+4x²y²+8xy³ / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)²
  • nach y gehts analog da sollte f(y)´= 8x²y+4x²y²+8x³y / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)² rauskommen.

Links[edit]

Hinweis zum PDF: Nenner dürfte im zweiten Bruch fehlerhaft sein. Richtig wäre: 8xy^2*(1+x+y)-4x^2y^2

Ähnliche Beispiele:

Quelle[edit]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 20