TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 332

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y)=\arctan \left({\frac {4x^{2}y^{2}}{1+x+y}}\right)$

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Hilfreiches

Arctan'

Arctan'

$\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation: ${\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$ (Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Quotientenregel

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag von Thomas

Setzen wir

$u={\frac {4x^{2}y^{2}}{1+x+y}}$

können wir mit Hilfe der Kettenregel und der Ableitung des arctan im ersten Schritt sagen:

$f'(x,y)={\frac {1}{1+u^{2}}}\cdot u'={\frac {1}{1+({\frac {4x^{2}y^{2}}{1+x+y}})^{2}}}\cdot u'={\frac {(1+x+y)^{2}}{16x^{4}y^{4}+(1+x+y)^{2}}}\cdot u'$

um $f_{x}$ und $f_{y}$ zu erhalten, müssen wir mit der Quotientenregel nun u separat nach x, nach y differenzieren

$\left({\frac {a}{b}}\right)'={\frac {a'b-ab'}{b^{2}}}$

wir setzen also

$a=4x^{2}y^{2}\,$

$b=1+x+y\,$

abgeleitet nach x:

$a'=8xy^{2}\,$

$b'=1\,$

eingesetzt:

$u'={\frac {(8xy^{2})(1+x+y)-(4x^{2}y^{2})\cdot 1}{(1+x+y)^{2}}}$

term zusammengesetzt, ausmultipliziert und gekürzt:

${\begin{aligned}f_{x}(x,y)&={\frac {(1+x+y)^{2}}{16x^{4}y^{4}+(1+x+y)^{2}}}\cdot {\frac {(8xy^{2})(1+x+y)-(4x^{2}y^{2})\cdot 1}{(1+x+y)^{2}}}\\&={\frac {(8xy^{2}(1+x+y)-4x^{2}y^{2})\cdot (1+x+y)^{2}}{16x^{4}y^{4}+(1+x+y)^{2}\cdot (1+x+y)^{2}}}\\&={\frac {8xy^{2}(1+x+y)-4x^{2}y^{2}}{16x^{4}y^{4}+(1+x+y)^{2}}}\end{aligned}}$

Um $f_{y}$ zu erhalten, muss man analgo $u$ nach y abgeleitet werden. Hier ändert sich in Wirklichkeit bei $a'$ aber nur die Potenz denn

$4x^{2}y^{2}$

nach y abgeleitet ergibt

$4x^{2}2y=8x^{2}y$

und $b'$ nach y abgeleitet bleibt $1$

was sich bei der Term Berechnung also nicht auswirkt.

$f_{y}(x,y)={\frac {8x^{2}y(1+x+y)-4x^{2}y^{2}}{16x^{4}y^{4}+(1+x+y)^{2}}}$

somit haben wir beide partielle Ableitungen von f nach x bzw. y bestimmt, was zu zeigen war.

Anmerkungen

• Hauptquelle war dieser Post: f.post:416329

Lösung von Ornat

• f(x)´= 1/ (1 + (4x²y² / 1+x+y)²) * 8xy²(1+x+y)-4x²y²*1 / (1+x+y)²
• f(x)´= 8xy²*(1+x+y)-4x²y² / (1+x+y)² + (4x²y²/1+x+y)² * (1+x+y)²
• f(x)´= 8xy² + 8x²y² + 8xy³ - 4x²y² / x² + 2x +2y + 2xy + 1 + [16x^4y^4*(1+x+y)²/(1+x+y)²]
• f(x)´= f(x)´= 8xy²+4x²y²+8xy³ / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)²

• nach y gehts analog da sollte f(y)´= 8x²y+4x²y²+8x³y / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)² rauskommen.

Links

• Thread zu diesem Beispiel --Markus Nemetz 09:38, 11. Mai 2006 (CEST)
• Diskussion im Informatik-Forum

• Lösung aus dem WS05 (PDF)

Hinweis zum PDF: Nenner dürfte im zweiten Bruch fehlerhaft sein. Richtig wäre: 8xy^2*(1+x+y)-4x^2y^2

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 97
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Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 20