TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 332

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Man bestimme die partiellen Ableitungen:

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arctan'
Arctan'[Bearbeiten, Wikipedia]

Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation: (Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Quotientenregel

  (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag von Thomas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setzen wir


können wir mit Hilfe der Kettenregel und der Ableitung des arctan im ersten Schritt sagen:


um und zu erhalten, müssen wir mit der Quotientenregel nun u separat nach x, nach y differenzieren


wir setzen also


abgeleitet nach x:


eingesetzt:


term zusammengesetzt, ausmultipliziert und gekürzt:


Um zu erhalten, muss man analgo nach y abgeleitet werden. Hier ändert sich in Wirklichkeit bei aber nur die Potenz denn


nach y abgeleitet ergibt


und nach y abgeleitet bleibt

was sich bei der Term Berechnung also nicht auswirkt.


somit haben wir beide partielle Ableitungen von f nach x bzw. y bestimmt, was zu zeigen war.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösung von Ornat[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • f(x)´= 1/ (1 + (4x²y² / 1+x+y)²) * 8xy²(1+x+y)-4x²y²*1 / (1+x+y)²
  • f(x)´= 8xy²*(1+x+y)-4x²y² / (1+x+y)² + (4x²y²/1+x+y)² * (1+x+y)²
  • f(x)´= 8xy² + 8x²y² + 8xy³ - 4x²y² / x² + 2x +2y + 2xy + 1 + [16x^4y^4*(1+x+y)²/(1+x+y)²]
  • f(x)´= f(x)´= 8xy²+4x²y²+8xy³ / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)²
  • nach y gehts analog da sollte f(y)´= 8x²y+4x²y²+8x³y / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)² rauskommen.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hinweis zum PDF: Nenner dürfte im zweiten Bruch fehlerhaft sein. Richtig wäre: 8xy^2*(1+x+y)-4x^2y^2

Ähnliche Beispiele:

Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 20