TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 356

Man bestimme $\frac{dy}{dx}$ für folgende implizit gegebene Kurven:

1. (a) $x^{2/3}+y^{2/3}=1$ für $x_0=0.5$
2. (b) $x^3+y^3-2xy=0$ für $x_0=1$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Hauptsatz_über_implizite_Funktionen

Hauptsatz über implizite Funktionen

$D\subseteq {ℝ}^2$ offene Menge, $F:D\to ℝ$ stetig differenzierbare Funktion, $F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)\ne 0$

Dann gibt es in der Umgebung $(x_0,y_0)$ eine eindeutig bestimmbare und stetig differenzierbare Lösung y(x) und es gilt:

$y^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}$

siehe Buch Seite 253 (Hauptsatz über implizite Funktionen)

Lösungsvorschlag

Anmerkung von ilavicion: $F_x$ und $F_y$ werden hier falsch eingesetzt.

Anmerkung von florianwicher: Dieses Beispiel ist unsinnig, es ist keine Funktion gegeben die wir betrachten sollen. f könnte $f(x,y)=x^{2/3}+y^{2/3}-1$ oder $f(x,y)=\frac{x^{2/3}+y^{2/3}-1}{12345}$ oder weiß Gott welche Funktion sein. Beide haben die angegebene Nullstellenmenge.

Beispiel (a)

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1\iff x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-1=0$

$F(x,y)=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-1$

$F_x(x,y)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{2}{3}-1}+0-0=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

$F_y(x,y)=0+\frac{2}{3}{y}^{\frac{2}{3}-1}-0=\frac{2}{3}{y}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{y}}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}}{\frac{2}{3\sqrt[3]{y}}}=-\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}}=-\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

Beispiel (b)

$F(x,y)=x^3+y^3-2xy$

$F_x(x,y)=3x^2-2y$

$F_y(x,y)=3y^2-2x$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{3x^2-2y}{3y^2-2x}$

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 32 / SS07 Beispiel 87

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF) (ANMERKUNG von BeKs: Im pdf wurden $F_x$ und $F_y$ falsch eingesetzt.)
• (alter) Thread zu diesem Beispiel
• Diskussion im Informatikforum (SS07)