TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 347. Vergleich

Gegeben sei die quadratische Form $q({\vec {x}})=q(x,y)=4x^{2}+2bxy+25y^{2}$ mit $b\in \mathbb {R}$ . Wie lautet die zugehörige quatratische Matrix A, sodaß $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ . Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratische Form

Quadratische Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_{n}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}},\;a_{ij}=a_{ji}\;\forall i,j$ ist

q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}

.

Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(x\ y\right){\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ .

Definitheit

Definitheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition: Eine quadratische Form $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$ ) heißt:

positiv definit, falls $q({\vec {x}})>0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
negativ definit, falls $q({\vec {x}})<0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
positiv semidefinit, falls $q({\vec {x}})\geq 0\quad \forall {\vec {x}}$
negativ semidefinit, falls $q({\vec {x}})\leq 0\quad \forall {\vec {x}}$
indefinit sonst.

Hauptminoren

Hauptminoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen A_k einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.

Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der allgemeinen Lösung $q(x,y)=\left(x\ y\right){\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ folgt trivial:

$a=4,\;c=25\;\Longrightarrow A={\begin{pmatrix}4&b\\b&25\end{pmatrix}}$ .

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore >0 sein; in diesem Fall ist

$|A_{1}|=|4|=4>0\quad \surd$
$|A_{2}|=4\cdot 25-b\cdot b>0$

100-b^{2}>0

100>b^{2}

10>b>-10

--Baccus 04:56, 31. Mär 2007 (CEST)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratische Formen sind Funktionen $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ der Bauart $q(x)=x^{m}athit{T}{\mathit {A}}x$ , wobei A eine symmetrische n x n-Matrix ist, d.h. ${\mathit {A^{T}=A}}$ . [...]