TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 347. Vergleich

Gegeben sei die quadratische Form $q(\overrightarrow{x})=q(x,y)=4x^2+2bxy+25y^2$ mit $b\in ℝ$. Wie lautet die zugehörige quatratische Matrix A, sodaß $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$. Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Hilfreiches

Quadratische Form

Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),a_{ij}=a_{ji}\mathrm{\forall }i,j$ ist

$q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$.

• Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(xy\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$.

Definitheit

Definitheit

Definition: Eine quadratische Form $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$) heißt:

1. positiv definit, falls $q(\overrightarrow{x})>0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
2. negativ definit, falls $q(\overrightarrow{x})<0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
3. positiv semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\ge 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
4. negativ semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\le 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
5. indefinit sonst.

Hauptminoren

Hauptminoren

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen A_k einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.

Lösung von Baccus

Aus der allgemeinen Lösung $q(x,y)=\left(xy\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$ folgt trivial:

$a=4,c=25⟹A=\left(\begin{array}{cc}4& b\\ b& 25\end{array}\right)$.

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore >0 sein; in diesem Fall ist

• $|A_1|=|4|=4>0\surd$
• $|A_2|=4\cdot 25-b\cdot b>0$

$100-b^2>0$

$100>b^2$

$10>b>-10$

--Baccus 04:56, 31. Mär 2007 (CEST)

Lösungsvorschlag

Theorie

Quadratische Formen sind Funktionen ${ℝ}^n\to ℝ$ der Bauart $q(x)=x^{m}athitT𝐴x$, wobei A eine symmetrische n x n-Matrix ist, d.h. ${𝐴}^{𝑇}\mathit{=}𝐴$. [...]

Drmota N., Gittenberger B., Karigl G., Panholzer A.; Mathematik für Informatik; Kapitel 6.1, S. 227, Absatz (f)

Lösung

Laut der Definition oben sieht unsere Matrix A wie folgt aus: $𝐴=\left(\begin{array}{cc}4& b\\ b& 25\end{array}\right)$

Definitheit überprüfen wir über das Hauptminorantenkriterium $det(4)>0$

$det(𝐴)=4\ast 25-b\ast b$

$-b^2=-100$

$b^2=100$ ($b^2$ ist sicher positiv, daher darf ich die Wurzel ziehen)

Daher muss $b\in (-10,10)$ gelten.

Lösung wurde in der Übung am Mittwoch mit Prof. Länger überprüft, und als korrekt befunden.

Links

• Diskussion Informatik-Forum SS07 Beispiel 68
• Diskussion Informatik-Forum WS08 Beispiel 15 Karigl
• Diskussion im Informatik-Forum

• Lösung aus dem WS04 (PDF)

Wikipädia:

• Definitheit
• Hauptminoren

Uni Wien:

• Quadratische Formen