TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 210

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Man berechne \int_1^\infty \frac{1}{x \sqrt{x-1}}\,\mathrm dx.

(Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution u=\sqrt{x-1}. Ferner beachte

man, dass das angegebene Integral sowohl bei x=1 als auch bei x=\infty uneigentlich ist.)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

u = \sqrt{x-1}

\begin{align}
\mathrm du &= \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \mathrm dx \\
2 \mathrm du &= \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x-1}}
\end{align}

\begin{align}
\int \frac{1}{x \sqrt{x-1}}\,\mathrm dx
&= \int \frac{1}{\left(1 + x - 1 \right) \sqrt{x-1}}\,\mathrm dx \\
&= \int \frac{1}{\left(1 + \sqrt{x - 1}^2 \right) \sqrt{x-1}}\,\mathrm dx \\
&= \int \frac{1}{1 + u^2} 2\,\mathrm du \\
&= 2 \int \frac{1}{1 + u^2}\,\mathrm du \\
&= 2 \arctan u + C \\
&= 2 \arctan \sqrt{x-1} + C
\end{align}

Da das angegebene Integral sowohl bei x=1 als auch bei x=\infty uneigentlich ist, nehmen wir einen beliebigen Wert z, bei dem der Funktionswert definiert ist, um das Integral aufzuteilen.

\begin{align}
\int_1^\infty \frac{1}{x \sqrt{x-1}}\,\mathrm dx
&= \lim_{c_1 \to 1} \left. 2 \arctan \sqrt{x-1} \right|_{c_1}^z + \lim_{c_2 \to \infty} \left. 2 \arctan \sqrt{x-1} \right|_z^{c_2} \\
&= \lim_{c_1 \to 1} \left( 2 \arctan \sqrt{z-1} - 2 \arctan \sqrt{c_1-1} \right) + \lim_{c_2 \to \infty} \left( 2 \arctan \sqrt{c_2-1} - 2 \arctan \sqrt{z-1} \right) \\
&= 2 \arctan \sqrt{z-1} - \lim_{c_1 \to 1} \left(2 \arctan \sqrt{c_1-1} \right) + \lim_{c_2 \to \infty} \left( 2 \arctan \sqrt{c_2-1} \right) - 2 \arctan \sqrt{z-1} \\
&= - \lim_{c_1 \to 1} \left( 2 \arctan \sqrt{c_1-1} \right) + \lim_{c_2 \to \infty} \left( 2 \arctan \sqrt{c_2-1} \right) \\
&= - 0 + 2 \frac{\pi}{2} \\
&= \pi
\end{align}

Quelle[Bearbeiten]

Karigl Beispielsammlung SS06 Beispiel 55

Links[Bearbeiten]

Siehe auch: Übungen WS07/Beispiel 24