TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58

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Gegeben sei die quadratische Form q(\vec x)=q(x,y)=4x^2+2bxy+25y^2 mit b\in\mathbb R. Wie lautet die zugehörige quatratische Matrix A, sodaß q(\vec x)=\vec x^TA\vec x. Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Hilfreiches[edit]

Quadratische Form
Quadratische Form[edit]

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor \vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} und einer symmetrischen quadratischen Matrix A_n=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\;a_{ij}=a_{ji}\;\forall i,j ist

q(\vec x)=\vec x^TA\vec x=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j.
  • Für z.B. den Fall n=2 ist also q(x,y)=\left(x\ y\right)\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2.
Definitheit
Definitheit[edit]

Definition: Eine quadratische Form q(\vec x)=\vec x^TA\vec x (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix A) heißt:

  1. positiv definit, falls q(\vec x)>0\quad\forall\vec x\neq\vec 0
  2. negativ definit, falls q(\vec x)<0\quad\forall\vec x\neq\vec 0
  3. positiv semidefinit, falls q(\vec x)\geq0\quad\forall\vec x
  4. negativ semidefinit, falls q(\vec x)\leq0\quad\forall\vec x
  5. indefinit sonst.
Hauptminoren
Hauptminoren[edit]

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen Ak einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.


Lösung von Baccus[edit]

Aus der allgemeinen Lösung q(x,y)=\left(x\ y\right)\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2 folgt trivial:

a=4,\;c=25\;\Longrightarrow A=\begin{pmatrix}4&b\\b&25\end{pmatrix}.


Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore >0 sein; in diesem Fall ist

  • |A_1|=|4|=4>0\quad\surd
  • |A_2|=4\cdot25-b\cdot b>0
100-b^2>0
100>b^2
10>b>-10

--Baccus 04:56, 31. Mär 2007 (CEST)

Lösungsvorschlag[edit]

Theorie[edit]

Quadratische Formen sind Funktionen \mathbb R ^n \rightarrow \mathbb R der Bauart q(x) = x^mathit{T} \mathit{A} x, wobei A eine symmetrische n x n-Matrix ist, d.h. \mathit{A^T = A}. [...]

Drmota N., Gittenberger B., Karigl G., Panholzer A.; Mathematik für Informatik; Kapitel 6.1, S. 227, Absatz (f)

Lösung[edit]

Laut der Definition oben sieht unsere Matrix A wie folgt aus: \mathit{A} = \bigl( \begin{smallmatrix} 4&b \\ b&25 \end{smallmatrix} \bigr)

Definitheit überprüfen wir über das Hauptminorantenkriterium det(4) > 0

det(\mathit{A}) = 4 * 25 - b * b

-b^2 = -100

b^2 = 100 (b^2 ist sicher positiv, daher darf ich die Wurzel ziehen)

Daher muss b \in (-10,10) gelten.

Lösung wurde in der Übung am Mittwoch mit Prof. Länger überprüft, und als korrekt befunden.

Links[edit]

Wikipädia:

Uni Wien: