TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 356

Man bestimme ${\frac {dy}{dx}}$ für folgende implizit gegebene Kurven:

1. (a) $x^{2/3}+y^{2/3}=1$ für $x_{0}=0.5$
2. (b) $x^{3}+y^{3}-2xy=0$ für $x_{0}=1$

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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Hauptsatz_über_implizite_Funktionen

Hauptsatz über implizite Funktionen

$D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offene Menge, $F:D\to \mathbb {R}$ stetig differenzierbare Funktion, $F(x_{0},y_{0})=0,F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0$

Dann gibt es in der Umgebung $(x_{0},y_{0})$ eine eindeutig bestimmbare und stetig differenzierbare Lösung y(x) und es gilt:

$y'(x)=-{\frac {F_{x}(x,y(x))}{F_{y}(x,y(x))}}$

siehe Buch Seite 253 (Hauptsatz über implizite Funktionen)

Lösungsvorschlag

Anmerkung von ilavicion: $F_{x}$ und $F_{y}$ werden hier falsch eingesetzt.

Anmerkung von florianwicher: Dieses Beispiel ist unsinnig, es ist keine Funktion gegeben die wir betrachten sollen. f könnte $f(x,y)=x^{2/3}+y^{2/3}-1$ oder $f(x,y)={\frac {x^{2/3}+y^{2/3}-1}{12345}}$ oder weiß Gott welche Funktion sein. Beide haben die angegebene Nullstellenmenge.

Beispiel (a)

$x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=1\Leftrightarrow x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}-1=0$

$F(x,y)=x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}-1$

$F_{x}(x,y)={\frac {2}{3}}x^{{\frac {2}{3}}-1}+0-0={\frac {2}{3}}x^{-{\frac {1}{3}}}={\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}$

$F_{y}(x,y)=0+{\frac {2}{3}}y^{{\frac {2}{3}}-1}-0={\frac {2}{3}}y^{-{\frac {1}{3}}}={\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{y}}}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}=-{\frac {\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{y}}}}}=-{\frac {\sqrt[{3}]{y}}{\sqrt[{3}]{x}}}=-{\sqrt[{3}]{\frac {y}{x}}}$

Beispiel (b)

$F(x,y)=x^{3}+y^{3}-2xy$

$F_{x}(x,y)=3x^{2}-2y$

$F_{y}(x,y)=3y^{2}-2x$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}=-{\frac {3x^{2}-2y}{3y^{2}-2x}}$

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 32 / SS07 Beispiel 87

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF) (ANMERKUNG von BeKs: Im pdf wurden $F_{x}$ und $F_{y}$ falsch eingesetzt.)
• (alter) Thread zu diesem Beispiel
• Diskussion im Informatikforum (SS07)