TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 375

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})$ für $x,y\in \mathbb {R}$

Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

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Graph

Auswertung mit Maple

Lösungsvorschlag

Zuerst müssen wir uns die partiellen Ableitungen $f_{x}$ und $f_{y}$ ausrechnen.

$f_{x}=4x(x^{2}+y^{2}-1)$

$f_{y}=4y(x^{2}-y^{2}+1)$

Dann stellen wir ein Gleichungssystem mit $f_{x}=0$ und $f_{y}=0$ auf, um alle stationären Punkte zu bestimmen. Dies sind die Punkte, die als Extrema für die Funktion überhaupt infrage kommen würden.

$f_{x}=4x(x^{2}+y^{2}-1)=0$

$f_{y}=4y(x^{2}-y^{2}+1)=0$

Mir fehlt leider die Zeit, um genauer auszuführen, wie dieses Gleichungssystem gelöst wird. Man verwendet u.a. den Produkt-Null-Satz, welcher bei solchen Beispielen immer äußerst hilfreich ist. Wenn wir es jedenfalls lösen, bekommen wir folgende stationäre Punkte als Lösungen:

$(0,0),(1,0),(-1,0)$

Als nächsten Schritt stellen wir die Hesse-Matrix${\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}}$ auf. Von dieser Berechnen wir uns dann die Determinante. Wenn die Determinante kleiner als 0 ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Wenn sie größer als 0 ist, müssen wir uns noch $f_{xx}$ ansehen. Wenn dieses kleiner als 0 ist, handelt es sich um ein relatives Maximum. Wenn es größer als 0 ist, handelt es sich um ein relatives Minimum. Zuerst müssen wir uns jedoch $f_{xx},f_{yy}$ und $f_{xy}$ ausrechnen.

$f_{xx}=4(3x^{2}+y^{2}-1)$

$f_{yy}=4(x^{2}+3y^{2}+1)$

$f_{xy}=8xy$

Die Hesse-Matrix sieht also wie folgt aus:

${\begin{pmatrix}4(3x^{2}+y^{2}-1)&8xy\\8xy&4(3x^{2}+y^{2}-1)\end{pmatrix}}$

Im folgenden setzen wir jeden Punkt einzeln ein, rechnen die Determinante aus und schauen, was rauskommt.

Für $(0,0)$:

${\begin{vmatrix}-4&0\\0&4\end{vmatrix}}=-16<0$

Da die Determinante für (0,0) negativ ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Für $(1,0)$:

${\begin{vmatrix}8&0\\0&8\end{vmatrix}}=64>0$

Da die Determinante hier größer als 0 ist, müssen wir uns noch $f_{xx}$ ansehen.

Da $f_{xx}=8>0$ handelt es sich hier um ein relatives Minimum.

Für $(-1,0)$:

${\begin{vmatrix}8&0\\0&8\end{vmatrix}}=64>0$

Da die Determinante hier größer als 0 ist, müssen wir uns noch $f_{xx}$ ansehen.

Da $f_{xx}=8>0$ handelt es sich hier um ein relatives Minimum.

Links

• Diskussion im Informatikforum (SS07)
• Diskussion im Informatikforum WS07 Beispiel 123
• Diskussion im Informatikforum (SS08)

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