TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58
Gegeben sei die quadratische Form mit . Wie lautet die zugehörige quatratische Matrix A, sodaß . Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Quadratische Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Definition:
Die Quadratische Form aus einem Vektor und einer symmetrischen quadratischen Matrix ist
- Für z.B. den Fall n=2 ist also .
Definitheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Definition: Eine quadratische Form (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix ) heißt:
- positiv definit, falls
- negativ definit, falls
- positiv semidefinit, falls
- negativ semidefinit, falls
- indefinit sonst.
Hauptminoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Definition:
Die Determinanten der Teilmatrizen Ak einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.
Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.
Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aus der allgemeinen Lösung folgt trivial:
.
Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore >0 sein; in diesem Fall ist
--Baccus 04:56, 31. Mär 2007 (CEST)
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Quadratische Formen sind Funktionen der Bauart , wobei A eine symmetrische n x n-Matrix ist, d.h. . [...]
Drmota N., Gittenberger B., Karigl G., Panholzer A.; Mathematik für Informatik; Kapitel 6.1, S. 227, Absatz (f)
Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Laut der Definition oben sieht unsere Matrix A wie folgt aus:
Definitheit überprüfen wir über das Hauptminorantenkriterium
( ist sicher positiv, daher darf ich die Wurzel ziehen)
Daher muss gelten.
Lösung wurde in der Übung am Mittwoch mit Prof. Länger überprüft, und als korrekt befunden.
Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Diskussion Informatik-Forum SS07 Beispiel 68
- Diskussion Informatik-Forum WS08 Beispiel 15 Karigl
- Diskussion im Informatik-Forum
Wikipädia:
Uni Wien: