TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 347. Vergleich

Gegeben sei die quadratische Form mit . Wie lautet die zugehörige quatratische Matrix A, sodaß . Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratische Form
Quadratische Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor und einer symmetrischen quadratischen Matrix ist

.
  • Für z.B. den Fall n=2 ist also .
Definitheit
Definitheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition: Eine quadratische Form (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix ) heißt:

  1. positiv definit, falls
  2. negativ definit, falls
  3. positiv semidefinit, falls
  4. negativ semidefinit, falls
  5. indefinit sonst.
Hauptminoren
Hauptminoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen Ak einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.


Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der allgemeinen Lösung folgt trivial:

.


Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore >0 sein; in diesem Fall ist

--Baccus 04:56, 31. Mär 2007 (CEST)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadratische Formen sind Funktionen der Bauart , wobei A eine symmetrische n x n-Matrix ist, d.h. . [...]

Drmota N., Gittenberger B., Karigl G., Panholzer A.; Mathematik für Informatik; Kapitel 6.1, S. 227, Absatz (f)

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Laut der Definition oben sieht unsere Matrix A wie folgt aus:

Definitheit überprüfen wir über das Hauptminorantenkriterium

( ist sicher positiv, daher darf ich die Wurzel ziehen)

Daher muss gelten.

Lösung wurde in der Übung am Mittwoch mit Prof. Länger überprüft, und als korrekt befunden.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wikipädia:

Uni Wien: