TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS09/Beispiel 76

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 352. Vergleich

Angabe

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A={\begin{pmatrix}-2&-1&0\\-1&-2&1\\0&1&-10\end{pmatrix}}$

ACHTUNG: Die Angabe wurde geändert: (Achtung Angabefehler: die beiden 6er in der Matrix bitte durch 0 ersetzen) siehe Tuwel

Lösungsvorschlag von Moritz.F

$|M_{1}|=m_{11}=-2$
$|M_{2}|=m_{1,1}*m_{2,2}-m_{1,2}*m_{2,1}=-2*-2-1=3$
$|M_{3}|=(m_{1,1}*m_{2,2}*m_{3,3})+<br>(m_{1,2}*m_{2,3}*m_{3,1})+(m_{2,1}*m_{3,2}*m_{1,3})-(m_{1,3}*m_{2,2}*m_{3,1})-(m_{1,1}*m_{2,3}*m_{3,2})-(m_{1,2}*m_{2,1}*m_{3,3})=-40-6+6-(72-2-10)=-90$

Wenn, lt. Hauptminorenkriterium bei alternierendem Vorzeichen die ungeraden Hauptminoren negativ, die geraden positiv sind, ist die Matrix negativ definit

Lösungsvorschlag von braaains

Mit dem Hauptminorenkriterium für die neue Angabe: (ich kann noch kein LaTex, bitte steinigt mich nicht ^^)

M1 = -2

M2 = (-2 * -2)-(-1*-1) = 3

M3 = (-2 * -2 * -10) + (-1 * 1 * 0) + (0 * -1 * 1) - (0 * -2 * 0) - (-1 * -1 * -10) - (-2 * 1 * 1)

= -40 + 0 + 0 - 0 - (-10) - (-2) = -28

Daher für alle geraden M positiv, für alle ungeraden M negativ -> laut Hauptminorenkriterium negativ definit.

Lösungsvorschlag von Windschütze

Ist nur ein Versuch, keine Ahnung ob korrekt... Datei:Bsp76.doc

EDIT1: Laut Tuwel ist ein Fehler in der Angabe: Die 6er müssen 0en sein. Damit sieht die Determinante etwas anders aus, für lander ergeben sich nur negative Werte und die Matrix ist damit negativ definit.

Edit2: Ich hab das am TabletPC per Freihandtools geschrieben und versucht ein PDF zu machen, hat aber nicht geklappt, war nur ne leere Seite.

Lösung von zool

Negativ indefinit da 1. -2, 2. 4 und 3. -99. Die Zahlen weichen zwar ab, aber es ist hier ja nur wichtig ob sie positiv oder negativ sind.

Lösung (ohne -6) von Windschütze

MS-Doc find ich in einen Wiki haarstreuben, vor allem wenn es eh eingescannter Text ist, weniegestens PDF verwenden oder gleich ein JPEG oder GIF. Ich habs konvertiert (zool):

Hilfreiche Links

• http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Definitheit_von_Matrizen
• http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwert#Berechnung_der_Eigenwerte_einer_Matrix
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS09/Beispiel 75