TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 369

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_{k}$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

1. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

2. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}$

3. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}$

Lösung von Jules

von --Jules 15:24, 12. Apr. 2011 (CEST)

Das kann man mithilfe des Hauptminorenkriteriums einfach bestimmen:

1. Hauptminore: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

${\mathsf {Ergebnis:4>0}}$

2. Hauptminore: ${\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}$

${\mathsf {Ergebnis:8-4=4>0}}$

3. Hauptminore: ${\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}$

${\mathsf {Ergebnis:112+12+12-8-36-56=36>0}}$

Alle Minoren positiv, d.h. die Matrix ist positiv definit!

Links

• http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit
• f.thread:72534