TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 330

Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion $x(t)$, sowie die Ableitung $x'(t)$, wo sie existiert:

$x(t)=\left(\sin(1+\cos t),{\frac {t^{5/4}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\right)$

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Hilfreiches

Quotientenregel

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag

Definitionsbereich

Da der Term $t^{5/4}$ die vierte Wurzel ($t^{1/4}$) enthält, darf $t$ nicht negativ sein.

Damit der Nenner nicht $0$ ist und der Wert unter der Wurzel positiv ist, muss folgendes gelten:
${\begin{aligned}1-t^{2}&>0\\1&>t^{2}\\1&>|t|\end{aligned}}$

Somit ergibt sich als Definitonsbereich $0\leq t<1$, da aus den Winkelfunktionen keine Einschränkung resultiert.

Ableitungen

$x_{1}(t)=\sin(1+\cos t)$

$x_{1}'(t)=-\cos(1+\cos t)\sin(t)$

$x_{2}(t)={\frac {t^{5/4}}{\sqrt {1-t^{2}}}}$

${\begin{aligned}x_{2}'(t)&={\frac {{\frac {5}{4}}t^{1/4}{\sqrt {1-t^{2}}}-t^{5/4}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}(-2t)}{1-t^{2}}}\\&={\frac {{\frac {5}{4}}t^{1/4}{\sqrt {1-t^{2}}}}{1-t^{2}}}+{\frac {t^{9/4}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}}{1-t^{2}}}\\&={\frac {5t^{1/4}}{4{\sqrt {1-t^{2}}}}}+{\frac {t^{9/4}}{(1-t^{2})^{3/2}}}\\&={\frac {t^{1/4}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\left({\frac {5}{4}}+{\frac {t^{2}}{1-t^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 95