TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 1

Angabe

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

a) $\lim _{x\rightarrow 1}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-1}}{ln(x)}}$

b) $\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {3x^{4}}{e^{4x}}}$

Hilfreiches

Regel_von_l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösung

von --JasonLeroy 00:38, 12. Mär. 2010 (CET)

a)

Würden wir uns von links (d.h. $x<1$) an 1 annähern erhalten wir negative Zahlen unter der Wurzel, was wir natürlich nicht wollen. Aus diesem Grund nähern wir uns von rechts, wir ändern also $\lim _{x\rightarrow 1}$ auf $\lim _{x\rightarrow 1+}$.

$\lim _{x\rightarrow 1+}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-1}}{ln(x)}}={\dfrac {''0''}{0}}=$

$=\lim _{x\rightarrow 1+}{\dfrac {\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}{\dfrac {1}{x}}}=\lim _{x\rightarrow 1+}{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}={\dfrac {''1''}{0}}=+\infty$

Da wir uns von rechts an 1 nähern erhalten wir sowohl im Zähler als auch im Nenner positive Werte. Daher ist das Ergebnis $+\infty$ ("Plus Unendlich").

b)

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {3x^{4}}{e^{4x}}}={\dfrac {''\infty ''}{\infty }}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {12x^{3}}{4e^{4x}}}={\dfrac {''\infty ''}{\infty }}=$

$=\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {36x^{2}}{16e^{4x}}}={\dfrac {''\infty ''}{\infty }}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {72x}{64e^{4x}}}={\dfrac {''\infty ''}{\infty }}=$

$=\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {72}{256e^{4x}}}={\dfrac {''72''}{\infty }}=0$

Alternative Lösung für b)

Wir mussten 4 mal die Regel von l'Hospital anwenden, um auf ein Ergebnis zu kommen. Mit folgender Alternative, vorgeschlagen von Prof. Eigenthaler, lässt sich das vermeiden:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {3x^{4}}{e^{4x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {3x^{4}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {4^{n}x^{n}}{n!}}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {3x^{4}}{1+4x+8x^{2}+{\dfrac {32x^{3}}{3}}+{\dfrac {32x^{4}}{3}}+{\dfrac {128x^{5}}{15}}+\ldots }}=$

$=\lim _{x\rightarrow \infty }{\dfrac {3}{{\dfrac {1}{x^{4}}}+{\dfrac {4}{x^{3}}}+{\dfrac {8}{x^{2}}}+{\dfrac {32}{3x}}+{\dfrac {32}{3}}+{\dfrac {128x}{15}}+\ldots }}={\dfrac {''3''}{\infty }}=0$

Lösung

von --mnemetz 11:32, 17. Mär 2006 (CET)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt.

Links

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