TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 1

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

(a) $\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{ln(x)}}$

(b) $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {3x^{4}}{e^{4x}}}$

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

differenzierbar und
gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$ ,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ . Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$ , oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$ . (a) $\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{ln(x)}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\ldots$ $f(x):={\sqrt {x^{2}-1}},\quad g(x):=\ln {x}\ \Rightarrow \ f^{'}(x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},\quad g^{'}(x)={\frac {1}{x}}$ $\ldots =\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {f^{'}(x)}{g^{'}(x)}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\rightarrow \infty$ (b) $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {3x^{4}}{e^{4x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {3\cdot 4x^{3}}{4\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {3\cdot (4\cdot 3)x^{2}}{4^{2}\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {3\cdot (4\cdot 3\cdot 2)x}{4^{3}\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {3\cdot (4\cdot 3\cdot 2)}{4^{4}\cdot e^{4x}}}\rightarrow 0$