TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 336

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ :
$f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\sin(x+y-z) \choose \cos({\frac {xy}{z}})}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , d.h. $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\doteq {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{i})\\\vdots \\f_{m}(x_{i})\end{pmatrix}}$ :

J_{f}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

Lösungsvorschlag von Osaic[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) ist eine Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen.

$f'(x,y,z)=\left({\frac {\partial {f_{i}}}{\partial {x_{j}}}}\right)_{i=1\ldots 2,j=1\ldots 3}$

Nun muss man alle partiellen Ableitungen bilden.

$g(x,y,z)=sin(x+y-z)$

$g_{x}=cos(x+y-z)$

$g_{y}=cos(x+y-z)$

$g_{z}=-cos(x+y-z)$

$h(x,y,z)=\cos({\tfrac {xy}{z}})$

$h_{x}=-sin({\frac {xy}{z}})\cdot {\frac {y}{z}}$

$h_{y}=-sin({\frac {xy}{z}})\cdot {\frac {x}{z}}$

$h_{z}=sin({\frac {xy}{z}})\cdot {\frac {xy}{z^{2}}}$

//Anmerkung koDiacc: Ableitung nach z von xy/z ist = -xy/z^2 und deswegen +sin(...)

Nun müssen die Ableitungen noch in die Matrix eingesetzt werden. Das funktioniert nach folgendem Schema.

$J_{t}={\begin{pmatrix}g_{x}&g_{y}&g_{z}\\h_{x}&h_{y}&h_{z}\end{pmatrix}}$

Für das Beispiel bedeutet dies:

$J_{t}={\begin{pmatrix}cos(x+y-z)&cos(x+y-z)&-cos(x+y-z)\\-sin({\frac {xy}{z}})\cdot {\frac {y}{z}}&-sin({\frac {xy}{z}})\cdot {\frac {x}{z}}&sin({\frac {xy}{z}})\cdot {\frac {xy}{z^{2}}}\end{pmatrix}}$