TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 1

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Angabe[Bearbeiten]

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

a) \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{ln(x)}

b) \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4}{e^{4x}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Vorlage:Regel von l'Hospital

Lösung[Bearbeiten]

von --JasonLeroy 00:38, 12. Mär. 2010 (CET)

a)[Bearbeiten]

Würden wir uns von links (d.h. x < 1) an 1 annähern erhalten wir negative Zahlen unter der Wurzel, was wir natürlich nicht wollen. Aus diesem Grund nähern wir uns von rechts, wir ändern also \lim_{x \rightarrow 1} auf \lim_{x \rightarrow 1+}.


\lim_{x \rightarrow 1+} \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{ln(x)} = \dfrac{''0''}{0} =

 = \lim_{x \rightarrow 1+} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{\dfrac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 1+} \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{''1''}{0} = +\infty

Da wir uns von rechts an 1 nähern erhalten wir sowohl im Zähler als auch im Nenner positive Werte. Daher ist das Ergebnis +\infty ("Plus Unendlich").

b)[Bearbeiten]

\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4}{e^{4x}} = \dfrac{''\infty''}{\infty} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{12x^3}{4e^{4x}} = \dfrac{''\infty''}{\infty} =

 = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{36x^2}{16e^{4x}} = \dfrac{''\infty''}{\infty} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{72x}{64e^{4x}} = \dfrac{''\infty''}{\infty} =

 = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{72}{256e^{4x}} = \dfrac{''72''}{\infty} = 0

Alternative Lösung für b)[Bearbeiten]

Wir mussten 4 mal die Regel von l'Hospital anwenden, um auf ein Ergebnis zu kommen. Mit folgender Alternative, vorgeschlagen von Prof. Eigenthaler, lässt sich das vermeiden:

\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4}{e^{4x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4}{\sum_{n=0}^\infty\dfrac{4^nx^n}{n!}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4}{1 + 4x + 8x^2 + \dfrac{32x^3}{3} + \dfrac{32x^4}{3} + \dfrac{128x^5}{15} + \ldots} =

 = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3}{\dfrac{1}{x^4} + \dfrac{4}{x^3} + \dfrac{8}{x^2} + \dfrac{32}{3x} + \dfrac{32}{3} + \dfrac{128x}{15} + \ldots} = \dfrac{''3''}{\infty} = 0

Lösung[Bearbeiten]

von --mnemetz 11:32, 17. Mär 2006 (CET)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt.

Links[Bearbeiten]