TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 370

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

A = $\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 4\\ -1& -2& 1\\ 4& 1& -10\end{array}\right)$

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{{Beispiel|1=
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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches

Hauptminorenkriterium:

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_k$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind.

Hauptminoren erhält man durch die Bildung der Determinanten von $M_k$

$M_k=\left(\begin{array}{ccc}{g}_{11}& \mathrm{..}& g_{1k}\\ .& & .\\ .& & .\\ g_{k1}& \mathrm{..}& g_{kk}\end{array}\right)$ $(1\le k\le n)$

Lösung von Tobmayr

1. Bildung der Hautpminoren

$M_1=\left|\begin{array}{c}-2\end{array}\right|=-2$

$M_2=\left|\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& -2\end{array}\right|=(-2\ast -2)-(-1\ast -1)=3$

$M_3=\left|\begin{array}{ccc}-2& -1& 4\\ -1& -2& 1\\ 4& 1& -10\end{array}\right|=-2\ast \left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -10\end{array}\right|-(-1\ast \left|\begin{array}{cc}-1& 4\\ 1& -10\end{array}\right|)+4\ast \left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 4& 1\end{array}\right|$ ( Laplacescher Entwicklungssatz [1])

${𝖬}_3=2\ast (-2\ast -10-1\ast 1)+(-1\ast -10-4\ast 1)+4\ast (-1\ast 1+2\ast 4)=-38+6+28=-4$

${𝖬}_1=negativ$
${𝖬}_2=positiv$
${𝖬}_3=negativ$

$\mathsf{\to }$ A ist negativ definit!

Links

Wikipedia- Definitheit[2]