TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 371

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A={\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-3&-7\\1&-7&-20\end{pmatrix}}$

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Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_{k}$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

1. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

2. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}$

3. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}$

Lösungsvorschlag von m0ru

Anwendung des Hauptminorenkriteriums (siehe weiter unten):

$M_{1}={\begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}}=-1$

$M_{2}={\begin{vmatrix}-1&1\\1&-3\end{vmatrix}}=-1\cdot -3-1\cdot 1=2$

$M_{3}={\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&-3&-7\\1&-7&-20\end{vmatrix}}=(-1)(-3)(-20)\,+\,(1)(-7)(1)\,+\,(1)(1)(-7)\,-\,(-1)(-7)(-7)\,-\,(1)(1)(-20)\,-\,(1)(-3)(1)=-2$

Aufgrund des alternierenden Schemas (siehe unten) können wir erkennen, dass die Matrix negativ definit ist und daher: $x^{T}\cdot A\cdot x<0$ für alle Vektoren $x\in \mathbb {R} ^{3}\backslash \lbrace \mathbf {0} \rbrace$