TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 334

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y)=\arctan \left(\frac{2x^{3}y}{y-x^3}\right)$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

$\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

arctan'

Arctan'

${\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag

Zunächst die Ableitung nach $x$:

$\begin{array}{cc}f{\text{'}}_x=\frac{1}{1+{\left(\frac{2x^{3}y}{y-x^3}\right)}^2}& \cdot \frac{6x^{2}y(y-x^3)-2x^{3}y(-3x^2)}{(y-x^3{)}^2}\\ =\frac{1}{\frac{(y-x^3{)}^2+(2x^{3}y{)}^2}{(y-x^3{)}^2}}& \cdot \frac{6x^2{y}^2-6x^{5}y+6x^{5}y}{(y-x^3{)}^2}\\ =\frac{(y-x^3{)}^2}{(y-x^3{)}^2+(2x^{3}y{)}^2}& \cdot \frac{6x^2{y}^2}{(y-x^3{)}^2}\\ =\frac{6x^2{y}^2}{(y-x^3{)}^2+(2x^{3}y{)}^2}\end{array}$

Danach die Ableitung nach $y$:

$\begin{array}{cc}f{\text{'}}_y=\frac{1}{1+{\left(\frac{2x^{3}y}{y-x^3}\right)}^2}& \cdot \frac{2x^3(y-x^3)-2x^{3}y}{(y-x^3{)}^2}\\ =\frac{(y-x^3{)}^2}{(y-x^3{)}^2+(2x^{3}y{)}^2}& \cdot \frac{2x^{3}y-2x^6-2x^{3}y}{(y-x^3{)}^2}\\ =\frac{-2x^6}{(y-x^3{)}^2+(2x^{3}y{)}^2}\end{array}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum (SS06)
• Diskussion im Informatik-Forum Lösung aus dem WS05 (PDF)

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Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 22