TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 1

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

(a) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt{x^2-1}}{ln(x)}$

(b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^4}{e^{4x}}$

Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\right)$,

so gilt: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \mathrm{\infty }$, oder auch falls $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$. (a) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt{x^2-1}}{ln(x)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\dots$ $f(x):=\sqrt{x^2-1},g(x):=\ln x\Rightarrow f^{\text{'}}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}},g^{\text{'}}(x)=\frac{1}{x}$ $\dots =\underset{x\to 1}{lim}\frac{f^{\text{'}}(x)}{g^{\text{'}}(x)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\to \mathrm{\infty }$ (b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^4}{e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\cdot 4x^3}{4\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\cdot (4\cdot 3)x^2}{4^2\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\cdot (4\cdot 3\cdot 2)x}{4^3\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\cdot (4\cdot 3\cdot 2)}{4^4\cdot e^{4x}}\to 0$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 11:32, 17. Mär 2006 (CET)

Teillösung im Konversatorium

Siehe <TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/L'Hospital> (bitte Konversatorium und TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 1 nach der Übung ergänzen!)

Links

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