TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 222

Man berechne $\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x{\sqrt {x-1}}}}\,\mathrm {d} x$ .
(Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution $u={\sqrt {x-1}}$ . Ferner beachte
man, dass das angegebene Integral sowohl bei $x=1$ als auch bei $x=\infty$ uneigentlich ist.)

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$u={\sqrt {x-1}}$

${\begin{aligned}\mathrm {d} u&={\frac {1}{2{\sqrt {x-1}}}}\mathrm {d} x\\2\mathrm {d} u&={\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x-1}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{x{\sqrt {x-1}}}}\,\mathrm {d} x&=\int {\frac {1}{\left(1+x-1\right){\sqrt {x-1}}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {1}{\left(1+{\sqrt {x-1}}^{2}\right){\sqrt {x-1}}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {1}{1+u^{2}}}2\,\mathrm {d} u\\&=2\int {\frac {1}{1+u^{2}}}\,\mathrm {d} u\\&=2\arctan u+C\\&=2\arctan {\sqrt {x-1}}+C\end{aligned}}$

Da das angegebene Integral sowohl bei $x=1$ als auch bei $x=\infty$ uneigentlich ist, nehmen wir einen beliebigen Wert $z$ , bei dem der Funktionswert definiert ist, um das Integral aufzuteilen.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x{\sqrt {x-1}}}}\,\mathrm {d} x&=\lim _{c_{1}\to 1}\left.2\arctan {\sqrt {x-1}}\right|_{c_{1}}^{z}+\lim _{c_{2}\to \infty }\left.2\arctan {\sqrt {x-1}}\right|_{z}^{c_{2}}\\&=\lim _{c_{1}\to 1}\left(2\arctan {\sqrt {z-1}}-2\arctan {\sqrt {c_{1}-1}}\right)+\lim _{c_{2}\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {c_{2}-1}}-2\arctan {\sqrt {z-1}}\right)\\&=2\arctan {\sqrt$